Questão 4 - 1ª Fase - IME 2025

Das relações de soma e produto, tem-se:

$\left(\mathrm{I}\right) \mathrm{a}+\mathrm{b}=\mathrm{p}$

$\left(\mathrm{II}\right) \mathrm{ab}=\mathrm{q}$

 $$\begin{gathered} \mathrm{Seja} \mathrm{S}={\mathrm{a}}^4+{\mathrm{b}}^4. \mathrm{Logo}: \\ \mathrm{S}={\left({\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2\right)}^2-2{\mathrm{ab}}^2 {\mathrm{b}}^2 \\ \mathrm{S}={\left[{\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)}^2-2\mathrm{ab}\right]}^2-2{\left(\mathrm{ab}\right)}^2 \end{gathered}$$

Substituindo (I) e (II) na equação anterior:

$\mathrm{S}={({\mathrm{p}}^2-2\mathrm{q})}^2-2{\mathrm{q}}^2$

Assim:

$$\begin{gathered} \mathrm{S}={\mathrm{p}}^4-4{\mathrm{p}}^2\mathrm{q}+4{\mathrm{q}}^2-2{\mathrm{q}}^2 \\ \mathrm{S}={\mathrm{p}}^4+2{\mathrm{q}}^2-4{\mathrm{p}}^2\mathrm{q} \end{gathered}$$