Dissertativa 5 - 2ª Fase - Dia 3 - ITA 2026

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Física
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Questão 5

Dissertativa

Uma viga fina, cilíndrica, incompressível, maciça de cobre (massa molar $M_{C u}$ ), de massa m, comprimento L e coeficiente de expansão térmica linear $α$ , está posicionada verticalmente sobre o piso de um recipiente que contém um banho de água (calor específico $c_{H_{2} O}$ e densidade $ρ_{H_{2} O}$ ) com volume V, inicialmente à temperatura ambiente de 20 °C. Sobre a extremidade superior da viga, é colocada uma massa $M_{1}$ , que exerce uma força compressiva ao longo de seu eixo. Uma fonte de calor é então acionada, fornecendo energia ao banho até que sua temperatura atinja 90 °C. Nesse momento, a fonte de calor é desligada, e a massa $M_{1}$ é imediatamente substituída por uma massa menor, $M_{2}$ . Com a fonte desligada e a massa reduzida, o sistema esfria e retorna à temperatura ambiente de 20 °C. Assim que essa temperatura é atingida, a massa $M_{1}$ é recolocada sobre a viga, e a fonte de calor é religada, reiniciando-se o ciclo. Admita que não há troca de calor de $M_{1}$ ou $M_{2}$ com o sistema.

Considerando válida a lei de Dulong-Petit: $c_{v} = 3 R$ (calor específico molar) para sólidos cristalinos, em que R é a constante universal dos gases, determine

a) o trabalho total realizado em um ciclo;

b) a eficiência da máquina térmica descrita.

Resolução:

a) O trabalho líquido do sistema é o oposto do trabalho externo ao elevar a massa $M_{1}$ de $ΔL$ e abaixar a massa $M_{2}$ de $ΔL$ .

$W = - W_{ext} = M_{1} \cdot g \cdot ΔL - M_{2} \cdot g \cdot ΔL = (M_{1} - M_{2}) \cdot g \cdot ΔL = (M_{1} - M_{2}) \cdot g \cdot α \cdot L \cdot ΔT W = (M_{1} - M_{2}) \cdot g \cdot α \cdot L \cdot (90 - 20) \Rightarrow W = 70 \cdot (M_{1} - M_{2}) \cdot g \cdot α \cdot L$

b) O calor fornecido pela fonte quente na etapa de elevação da massa $M_{1}$ pode ser calculado pela Primeira Lei da Termodinâmica:

$Q_{q} = ΔU + W_{elevação} = (ρ_{H_{2} O} \cdot V \cdot c_{H_{2} O} + n \cdot c_{V}) \cdot ΔT + M_{1} \cdot g \cdot ΔL + m \cdot g \frac{ΔL}{2} Q_{q} = (ρ_{H_{2} O} \cdot V \cdot c_{H_{2} O} + \frac{m}{M_{Cu}} \cdot 3 R) \cdot ΔT + M_{1} \cdot g \cdot α \cdot L \cdot ΔT + m \cdot g \frac{α \cdot L \cdot ΔT}{2} Q_{q} = (ρ_{H_{2} O} \cdot V \cdot c_{H_{2} O} + \frac{m}{M_{Cu}} \cdot 3 R) \cdot (90 - 20) + M_{1} \cdot g \cdot α \cdot L \cdot (90 - 20) + m \cdot g \frac{α \cdot L \cdot (90 - 20)}{2} Q_{q} = 70 \cdot (ρ_{H_{2} O} \cdot V \cdot c_{H_{2} O} + \frac{m}{M_{Cu}} \cdot 3 R + M_{1} \cdot g \cdot α \cdot L + \frac{m \cdot g \cdot α \cdot L}{2})$

A eficiência da máquina térmica é a razão entre o trabalho líquido e o calor fornecido pela fonte quente:

$η = \frac{W}{Q_{q}} = \frac{70 \cdot (M_{1} - M_{2}) \cdot g \cdot α \cdot L}{70 \cdot (ρ_{H_{2} O} \cdot V \cdot c_{H_{2} O} + \frac{m}{M_{Cu}} \cdot 3 R + M_{1} \cdot g \cdot α \cdot L + \frac{m \cdot g \cdot α \cdot L}{2})} η = \frac{(M_{1} - M_{2}) \cdot g \cdot α \cdot L}{(ρ_{H_{2} O} \cdot V \cdot c_{H_{2} O} + \frac{m}{M_{Cu}} \cdot 3 R + M_{1} \cdot g \cdot α \cdot L + \frac{m \cdot g \cdot α \cdot L}{2})}$

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