Dissertativa 4 - 2ª Fase - Dia 3 - ITA 2026

a)

O sistema $\mathrm{M} + \mathrm{m}$ permanece fechado para forças externas, logo, podemos afirmar que, apesar da separação em ${\mathrm{m}}_1$ e ${\mathrm{m}}_2$, o $\mathrm{CM}$ de $\mathrm{m}$ permanece percorrendo a trajetória elíptica original.

Posição do $\mathrm{CM}$ de $\mathrm{m}$:

$$\begin{gathered} {\mathrm{x}}_{\mathrm{CM}}=\frac{{\mathrm{m}}_1{\mathrm{x}}_1+{\mathrm{m}}_2{\mathrm{x}}_2}{{\mathrm{m}}_1+{\mathrm{m}}_2}=\frac{4{\mathrm{m}}_2\left({\displaystyle \frac{3\mathrm{a}}{4}}\right)+{\mathrm{m}}_2\left(\mathrm{a}\right)}{4{\mathrm{m}}_2+{\mathrm{m}}_2}=\frac{4\mathrm{a}}{5} \\ {\mathrm{y}}_{\mathrm{CM}}=\frac{{\mathrm{m}}_1{\mathrm{y}}_1+{\mathrm{m}}_2{\mathrm{y}}_2}{{\mathrm{m}}_1+{\mathrm{m}}_2}=\frac{4{\mathrm{m}}_2\left({\displaystyle \frac{\mathrm{b}}{4}}\right)+{\mathrm{m}}_2\left({\mathrm{y}}_2\right)}{4{\mathrm{m}}_2+{\mathrm{m}}_2}=\frac{\mathrm{b}+{\mathrm{y}}_2}{5} \end{gathered}$$

Do enunciado, a órbita original é uma elipse de equação:   $\frac{{\mathrm{x}}^2}{{\mathrm{a}}^2}+\frac{{\mathrm{y}}^2}{{\mathrm{b}}^2}=1$

Como o $\mathrm{CM}$ de $\mathrm{m}$ deve pertencer à elipse:

$\frac{{\left({\displaystyle \frac{4\mathrm{a}}{5}}\right)}^2}{{\mathrm{a}}^2}+\frac{{\left({\displaystyle \frac{b+y_2}{5}}\right)}^2}{{\mathrm{b}}^2}=1\Rightarrow \frac{16}{25}+{\left(\frac{b+y_2}{5b}\right)}^2=1\Rightarrow {\left(\frac{b+y_2}{5b}\right)}^2=\frac{9}{25}\Rightarrow \frac{b+y_2}{5b}=\pm \frac{3}{5}$

Assim:

$\boxed{{\mathrm{y}}_2=2\mathrm{b}}$   ou   $\boxed{{\mathrm{y}}_2=-4\mathrm{b}}$

b)

Sabemos que:

•  ${\mathrm{P}}_1=\left(\frac{3\mathrm{a}}{4},\frac{\mathrm{b}}{4}\right)$
• ${\mathrm{P}}_2=\left(\mathrm{a}, 2\mathrm{b}\right)$ ou ${\mathrm{P}}_2=\left(\mathrm{a}, -4\mathrm{b}\right)$
• $\mathrm{M}$ se encontra em $\left(\mathrm{c}, 0\right)$ ou $(-\mathrm{c}, 0)$, com ${\mathrm{c}}^2={\mathrm{a}}^2-{\mathrm{b}}^2$ (o enunciado não especifica qual foco).

Como a energia potencial gravitacional é negativa e depende do inverso da distância, para minimizá-la, precisamos que as massas estejam o mais próximas possível da estrela central.

Perceba que, independentemente de a estrela estar em $\left(+\mathrm{c},0\right)$ ou $\left(-\mathrm{c},0\right)$, é melhor tomar ${\mathrm{y}}_2=2\mathrm{b}$, pois ${\mathrm{y}}_2=-4\mathrm{b}$ deixaria ${\mathrm{m}}_2$ mais afastada do eixo $\mathrm{x}$.

Como as abscissas de ${\mathrm{m}}_1$ e ${\mathrm{m}}_2$ são positivas, tomar $\mathrm{M}$ em $\left(+\mathrm{c},0\right)$ minimiza as distâncias a ${\mathrm{m}}_1$ e ${\mathrm{m}}_2$.

Logo, a condição do enunciado é satisfeita para ${\mathrm{P}}_1=\left(\frac{3\mathrm{a}}{4},\frac{\mathrm{b}}{4}\right)$, ${\mathrm{P}}_2=\left(\mathrm{a}, 2\mathrm{b}\right)$ e $\mathrm{M}$ em $\left(+\mathrm{c},0\right)$.

Distâncias de ${\mathrm{m}}_1$ e ${\mathrm{m}}_2$ a $\mathrm{M}$:

${\mathrm{d}}_1=\sqrt{{\left(\frac{3\mathrm{a}}{4}-\sqrt{{\mathrm{a}}^2-{\mathrm{b}}^2}\right)}^2+{\left(\frac{\mathrm{b}}{4}\right)}^2}$ e  ${\mathrm{d}}_2=\sqrt{{\left(\mathrm{a}-\sqrt{{\mathrm{a}}^2-{\mathrm{b}}^2}\right)}^2+{\left(2\mathrm{b}\right)}^2}$

Portanto:

${\mathrm{E}}_{{\mathrm{pg}}_{\mathrm{mín}}}=-\frac{{\mathrm{GMm}}_1}{{\mathrm{d}}_1}-\frac{{\mathrm{GMm}}_2}{{\mathrm{d}}_2}=-\frac{\mathrm{GM}.4m_2}{{\mathrm{d}}_1}-\frac{{\mathrm{GMm}}_2}{{\mathrm{d}}_2}$

$\boxed{{\mathrm{E}}_{{\mathrm{pg}}_{\mathrm{mín}}}=-\mathrm{GM}{m}_2\left(\frac{4}{\sqrt{{\left({\displaystyle \frac{3\mathrm{a}}{4}-\sqrt{{\mathrm{a}}^2-{\mathrm{b}}^2}}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{\mathrm{b}}{4}}\right)}^2}}+\frac{1}{\sqrt{{\left(\mathrm{a}-\sqrt{{\mathrm{a}}^2-{\mathrm{b}}^2}\right)}^2+{\left(2\mathrm{b}\right)}^2}}\right)}$