Dissertativa 4 - 2ª Fase - Dia 3 - ITA 2026

a)

Assumindo que o CM do conjunto ${\mathrm{m}}_1 + {\mathrm{m}}_2$ permaneça percorrendo a trajetória elíptica original (*):

$$\begin{gathered} {\mathrm{x}}_{\mathrm{CM}}=\frac{{\mathrm{m}}_1{\mathrm{x}}_1+{\mathrm{m}}_2{\mathrm{x}}_2}{{\mathrm{m}}_1+{\mathrm{m}}_2}=\frac{4{\mathrm{m}}_2\left({\displaystyle \frac{3\mathrm{a}}{4}}\right)+{\mathrm{m}}_2\left(\mathrm{a}\right)}{4{\mathrm{m}}_2+{\mathrm{m}}_2}=\frac{4\mathrm{a}}{5} \\ {\mathrm{y}}_{\mathrm{CM}}=\frac{{\mathrm{m}}_1{\mathrm{y}}_1+{\mathrm{m}}_2{\mathrm{y}}_2}{{\mathrm{m}}_1+{\mathrm{m}}_2}=\frac{4{\mathrm{m}}_2\left({\displaystyle \frac{\mathrm{b}}{4}}\right)+{\mathrm{m}}_2\left({\mathrm{y}}_2\right)}{4{\mathrm{m}}_2+{\mathrm{m}}_2}=\frac{\mathrm{b}+{\mathrm{y}}_2}{5} \end{gathered}$$

Do enunciado, a órbita original é uma elipse de equação:   $\frac{{\mathrm{x}}^2}{{\mathrm{a}}^2}+\frac{{\mathrm{y}}^2}{{\mathrm{b}}^2}=1$.

Impondo que o $\mathrm{CM}$ pertença a essa elipse:

$\frac{{\left({\displaystyle \frac{4\mathrm{a}}{5}}\right)}^2}{{\mathrm{a}}^2}+\frac{{\left({\displaystyle \frac{\mathrm{b}+{\mathrm{y}}_2}{5}}\right)}^2}{{\mathrm{b}}^2}=1\Rightarrow \frac{16}{25}+{\left(\frac{\mathrm{b}+{\mathrm{y}}_2}{5}\right)}^2=1\Rightarrow {\left(\frac{\mathrm{b}+{\mathrm{y}}_2}{5}\right)}^2=\frac{9}{25}\Rightarrow \frac{\mathrm{b}+{\mathrm{y}}_2}{5}=\pm \frac{3}{5}$

Assim:

$\boxed{{\mathrm{y}}_2=2\mathrm{b}}$   ou   $\boxed{{\mathrm{y}}_2=-4\mathrm{b}}$

b)

Até aqui, sabe-se que:

•  ${\mathrm{P}}_1=\left(\frac{3\mathrm{a}}{4},\frac{\mathrm{b}}{4}\right)$
• ${\mathrm{P}}_2=\left(\mathrm{a}, 2\mathrm{b}\right)$ ou ${\mathrm{P}}_2=\left(\mathrm{a}, -4\mathrm{b}\right)$
• $\mathrm{M}$ se encontra em um dos focos da elipse: $\left(\mathrm{c}, 0\right)$ ou $(-\mathrm{c}, 0)$, com ${\mathrm{c}}^2={\mathrm{a}}^2-{\mathrm{b}}^2$ e c > 0.

Como ${\mathrm{E}}_{\mathrm{pg} }< 0 \mathrm{e} \left|{\mathrm{E}}_{\mathrm{pg}}\right| \propto {\mathrm{r}}^{-1}$, para minimizá-la, é preciso que ${\mathrm{m}}_1 \mathrm{e} {\mathrm{m}}_2$ estejam o mais próximas possível da estrela central.

Perceba que, independentemente de a estrela estar em $\left(\mathrm{c}, 0\right)$ ou $\left(-\mathrm{c}, 0\right)$, é melhor tomar ${\mathrm{y}}_2=2\mathrm{b}$ para fins de minimização, pois ${\mathrm{y}}_2=-4\mathrm{b}$ deixaria ${\mathrm{m}}_2$ mais afastada do eixo $\mathrm{x}$(e, consequentemente, de M). Além disso, como as abscissas de ${\mathrm{m}}_{1 }\mathrm{e} {\mathrm{m}}_2$ são positivas, M em (c, 0) reduz distâncias se comparado a $(-\mathrm{c}, 0)$.

Logo, a condição do enunciado é satisfeita para ${\mathrm{P}}_1=\left(\frac{3\mathrm{a}}{4},\frac{\mathrm{b}}{4}\right)$, ${\mathrm{P}}_2=\left(\mathrm{a}, 2\mathrm{b}\right)$ e $\mathrm{M}$ em $\left(\mathrm{c}, 0\right)$.

Distâncias de ${\mathrm{m}}_1$ e ${\mathrm{m}}_2$ a $\mathrm{M}$:

${\mathrm{d}}_1=\sqrt{{\left(\frac{3\mathrm{a}}{4}-\sqrt{{\mathrm{a}}^2-{\mathrm{b}}^2}\right)}^2+{\left(\frac{\mathrm{b}}{4}\right)}^2}$ e  ${\mathrm{d}}_2=\sqrt{{\left(\mathrm{a}-\sqrt{{\mathrm{a}}^2-{\mathrm{b}}^2}\right)}^2+{\left(2\mathrm{b}\right)}^2}$

Finalmente:

${\mathrm{E}}_{{\mathrm{pg}}_{\mathrm{mín}}}=-\frac{{\mathrm{GMm}}_1}{{\mathrm{d}}_1}-\frac{{\mathrm{GMm}}_2}{{\mathrm{d}}_2}=-\frac{\mathrm{GM}.4m_2}{{\mathrm{d}}_1}-\frac{{\mathrm{GMm}}_2}{{\mathrm{d}}_2}$

$\boxed{{\mathrm{E}}_{{\mathrm{pg}}_{\mathrm{mín}}}=-\mathrm{GM}{m}_2\left(\frac{4}{\sqrt{{\left({\displaystyle \frac{3\mathrm{a}}{4}-\sqrt{{\mathrm{a}}^2-{\mathrm{b}}^2}}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{\mathrm{b}}{4}}\right)}^2}}+\frac{1}{\sqrt{{\left(\mathrm{a}-\sqrt{{\mathrm{a}}^2-{\mathrm{b}}^2}\right)}^2+{\left(2\mathrm{b}\right)}^2}}\right)}$

 

(*) Observação:

A equipe de Física do Poliedro Curso acredita que esse foi o caminho concebido pela Banca Examinadora para se resolver a questão. No entanto, é preciso ressaltar que a premissa fundamental da questão – a permanência do CM de m sobre a trajetória elíptica original – não é verdadeira.

Para que o fosse, seria preciso que, do instante da separação em diante, as partes ${\mathrm{m}}_1 \mathrm{e} {\mathrm{m}}_2$ experimentassem campos gravitacionais aproximadamente iguais, o que só ocorre nos instantes subsequentes à separação, em razão de a distância entre ${\mathrm{m}}_1 \mathrm{e} {\mathrm{m}}_2$ ainda ser pequena.

Para um intervalo de tempo arbitrário após a separação, os próprios dados do enunciado comprovam que as massas deixam a região onde a aproximação é válida. Com efeito, para ${\mathrm{P}}_{1 }= (\frac{3\mathrm{a}}{4}, \frac{\mathrm{b}}{4}) \mathrm{e} {\mathrm{P}}_2 = (\mathrm{a}, 2\mathrm{b}),$a separação entre as massas é igual a ${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_{2 }= \sqrt{\left(\frac{{\mathrm{a}}^2}{16}\right)+\left(\frac{49{\mathrm{b}}^2}{16}\right),}$ valor comparável às dimensões da órbita elíptica. Para ${\mathrm{P}}_{2 }= (\mathrm{a}, -4\mathrm{b}),$ o problema se intensifica, pois ${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2$ se torna ainda maior.

Como a provável premissa em que o enunciado se apoia é inconsistente, sugerimos a anulação da questão.