Dissertativa 10 - 2ª Fase - Dia 3 - ITA 2026

a) Chegada da nave 1 a Sirius:

${\mathrm{t}}_1=\frac{\mathrm{D}}{{\mathrm{v}}_1}=\frac{8,6}{0,8}=10,75 \mathrm{anos}$

Posição da nave 2 nesse instante:

${\mathrm{x}}_2={\mathrm{v}}_2{\mathrm{t}}_1=0,6\mathrm{c}·\left(10,75 \mathrm{anos}\right)=6,45 \mathrm{anos}-\mathrm{luz}$

Separação entre elas nesse momento:

$∆\mathrm{x}=8,6-6,45=2,15 \mathrm{anos}-\mathrm{luz}$

Como o sinal vai "para trás" com c e a nave 2 vem "para frente" com 0,6c, a velocidade de aproximação é de c + 0,6c = 1,6c. Assim:

$∆\mathrm{t}=\frac{∆\mathrm{x}}{1,6\mathrm{c}}=\frac{2,15}{1,6\mathrm{c}}\to ∆\mathrm{t}=1,34375 \mathrm{anos}$

Tempo total desde ${\mathrm{t}}_0$:

$$\begin{gathered} {\mathrm{t}}_{\mathrm{Terra}}={\mathrm{t}}_1+∆\mathrm{t}=10,75+1,34375 \\ {\mathrm{t}}_{\mathrm{Terra}}=12,09375 \mathrm{anos} \\ \mathrm{Portanto}, \boxed{{\mathrm{t}}_{\mathrm{Terra}}\approx 12,1 \mathrm{anos}} \end{gathered}$$

b) Os eventos são:

1. Naves saem da borda do sistema solar
2. Sinal chega à nave 2

Nos dois eventos, a nave 2 se encontra no local onde o evento ocorreu no seu referencial; ela está junto da nave 1 na borda do sistema solar quando ambas saem em direção à Sirius $\left({\mathrm{x}}_{2,\mathrm{I}}\right)$ e está na posição que o sinal chega a ela $\left({\mathrm{x}}_{2,\mathrm{II}}\right)$, ou seja, ${\mathrm{x}}_{2,\mathrm{I}}={\mathrm{x}}_{2,\mathrm{II}}$. Dessa forma, o tempo é próprio para a nave 2. Portanto:

${\mathrm{t}}_{\mathrm{Terra}}={\mathrm{\gamma }}_2·{\mathrm{T}}_{{\mathrm{nave}}_2}$

Como ${\mathrm{v}}_2=0,6\mathrm{c}\to {\mathrm{\gamma }}_2=\frac{1}{\sqrt{1-{\left({\displaystyle \frac{{\mathrm{v}}_2}{\mathrm{c}}}\right)}^2}}$

$\to {\mathrm{\gamma }}_2=\frac{5}{4}$

Assim:

$12,09375=\frac{5}{4}·{\mathrm{t}}_{{\mathrm{nave}}_2}\to \boxed{{\mathrm{t}}_{{\mathrm{nave}}_2}=9,675 \mathrm{anos}}$