Questão 1 - 1ª Fase - ITA 2026

Seja $\mathrm{w}=\mathrm{a}·\mathrm{cis}\left(\frac{\mathrm{\pi }}{6}\right)$, em que $\mathrm{a}=\left|\mathrm{w}\right|$, $\text{a > }0$. Assim:

$\mathrm{w}=\mathrm{a}\left(\cos \frac{\mathrm{\pi }}{6}+\mathrm{isen}\frac{\mathrm{\pi }}{6}\right)=\frac{\mathrm{a}\sqrt{3}}{2}+\frac{\mathrm{a}}{2}\mathrm{i}$

Desse modo, considere a equação:

$$\begin{gathered} \mathrm{z}=\mathrm{w} - 2\sqrt{3} \\ \left|\mathrm{z}\right|=\left|\mathrm{w}-2\sqrt{3}\right| \\ 2\sqrt{3}=\sqrt{{\left(\frac{\mathrm{a}\sqrt{3}}{2}-2\sqrt{3}\right)}^2+{\left(\frac{\mathrm{a}}{2}\right)}^2} \end{gathered}$$

Elevando ambos os lados os quadrado, tem-se:

$12=3{\left(\frac{a}{2}-2\right)}^2+\frac{a^2}{4}$

Resolvendo a equação, tem-se que a única raiz positiva é $a=6$.

Assim:

$w=\frac{a\sqrt{3}}{2}+\frac{a}{2}i \to w=3\sqrt{3 }+3i$

Por fim:

$$\begin{gathered} \mathrm{z}=\mathrm{w}-2\sqrt{3} \\ \mathrm{z}=3\sqrt{3}+3\mathrm{i}-2\sqrt{3} \\ \mathrm{z}=\sqrt{3}+3\mathrm{i} \end{gathered}$$

Assim, a parte real de $\mathrm{z}$ é igual a  $\boxed{\sqrt{3}}$.