Questão 29 - Prova V4 - Fuvest 2025

As raízes da equação ${\mathrm{x}}^2 + 5\mathrm{x} - 6 = 0$ são dadas por ${\mathrm{x}}_1=-6$ e ${\mathrm{x}}_2=1$, de modo que:

${\mathrm{x}}^2 + 5\mathrm{x} - 6 \ge 0 \mathrm{se} \mathrm{x} \le -6 \mathrm{ou} \mathrm{x} \ge 1;$

${\mathrm{x}}^2+ 5\mathrm{x} - 6 < 0 \mathrm{se} -6 < \mathrm{x} < 1.$

Analisando as situações, tem-se:

Caso 1: $\mathrm{x}\le -6 \mathrm{ou} \mathrm{x}\ge 1$

Nesse caso, ${\mathrm{x}}^2 + 5\mathrm{x} - 6 \ge 0$, de modo que $\left|{\mathrm{x}}^2 + 5\mathrm{x} - 6\right|= {\mathrm{x}}^2+ 5\mathrm{x} - 6$.

Assim:

$$\begin{gathered} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right) = {\mathrm{x}}^2+ 5\mathrm{x} - 6 - 5\mathrm{x} + 6 \\ \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right) = {\mathrm{x}}^2 \end{gathered}$$

Graficamente, pode-se desenhar a parábola $\mathrm{y} = {\mathrm{x}}^2$ e desconsiderar os pontos para os quais $-6 < \mathrm{x} < 1.$

Caso 2: $-6 < \mathrm{x} < 1$

Nesse caso, ${\mathrm{x}}^2+ 5\mathrm{x} - 6 < 0$, de modo que $\left|{\mathrm{x}}^2 + 5\mathrm{x} - 6\right| = -{\mathrm{x}}^2 - 5\mathrm{x} + 6$. Assim:

$$\begin{gathered} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=-{\mathrm{x}}^2 - 5\mathrm{x} + 6 - 5\mathrm{x} + 6 \\ \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=-{\mathrm{x}}^2 - 10\mathrm{x} + 12 \end{gathered}$$

A curva representa uma parábola de concavidade para baixo e vértices de coordenadas $\left({\mathrm{x}}_{\mathrm{v}}, {\mathrm{y}}_{\mathrm{v}}\right)$, tais que:

$$\begin{gathered} {\mathrm{x}}_{\mathrm{v}}=-\frac{\mathrm{b}}{2\mathrm{a}}=\frac{-\left(-10\right)}{2\left(-1\right)}=-5 \\ {\mathrm{y}}_{\mathrm{v}}=-{\left(-5\right)}^2-10\left(-5\right) + 12 = 37 \end{gathered}$$

Portanto, o vértice é o ponto ($-5$, 37).

Graficamente, pode-se desenhar a parábola $\mathrm{y}=-{\mathrm{x}}^2-10\mathrm{x} + 12$ e desconsiderar os pontos para os quais $\mathrm{x}\le -6 \mathrm{ou} \mathrm{x}\ge 1$.

Desse modo, combinando os dois casos anteriores, chega-se ao gráfico desejado: