Questão 58 - Unicamp - R_Z - Unicamp 2027

A probabilidade é dada por $\mathrm{P} = \frac{\mathrm{n}º \mathrm{casos} \mathrm{favoráveis}}{\mathrm{n}º \mathrm{casos} \mathrm{possíveis}}$.

Veja que ao escolher dois números, a ordem não importa para calcular o máximo divisor comum, já que $\mathrm{mdc} (\mathrm{a}, \mathrm{b}) = \mathrm{mdc} (\mathrm{b}, \mathrm{a})$.

Portanto, a quantidade de casos possíveis é: 

${\mathrm{C}}_{100,2} = \frac{100!}{2! · 98!} = \frac{100 · 99}{2} = 50 · 99$

 

Para que o mdc seja um número ímpar, só não podemos escolher dois números pares. Portanto, para a quantidade de casos favoráveis temos

$$\begin{gathered} \mathrm{TOTAL} - {\mathrm{C}}_{50, 2} = {\mathrm{C}}_{100, 2} - {\mathrm{C}}_{50, 2} \\ = 50 · 99 - \frac{50!}{2! · 48!} \\ = 50 · 99 - \frac{50 · 49}{2} \\ = 50 · \left(99 - \frac{49}{2}\right) \\ = 50 · \left(\frac{198 - 49}{2}\right) \\ = 25 · 149 \end{gathered}$$

Logo, $\mathrm{P} = \frac{25 · 149}{50 · 99} = \frac{149}{2 · 99} = \boxed{\frac{149}{198}}$.