Dissertativa 15 - Conhecimentos Específicos e Redação - Santa Casa 2026

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Questão 15

Dissertativa

Um recipiente cilíndrico de altura 0,8 m e com área da base medindo $3 x 10^{- 2} m^{2}$ está inicialmente cheio de água. No fundo desse recipiente, há uma torneira inicialmente fechada que, quando aberta, faz com que a água escoe lentamente com uma vazão constante de $2 x 10^{- 4} m^{3} / s$ . No instante $t_{0} = 0$ , um diapasão é colocado para vibrar com frequência f próximo à superfície da água e, simultaneamente, a torneira é aberta. No instante t = 30 s nota-se que a coluna de ar dentro do recipiente entra, pela primeira vez, em ressonância com o som emitido pelo diapasão, produzindo ondas sonoras com a frequência do modo fundamental de vibração (primeiro harmônico), como mostra a figura.

a) Calcule o volume de água, em $m^{3}$ , que deve escoar pela torneira para que a pressão exercida apenas pela água no fundo desse recipiente cilíndrico seja reduzida à metade do valor inicial.

b) Considerando a velocidade do som no ar dentro desse recipiente cilíndrico igual a 340 m/s, calcule a frequência, em Hz, do som emitido pelo diapasão.

Resolução:

a) Com base na equação de Stevin, a pressão hidrostática é dada por: $P = d \cdot g \cdot H$ .

Para que a pressão exercida apenas pela coluna de água caia pela metade, a altura da coluna deverá ser reduzida à metade, ou seja:

$P' = \frac{P}{2} \Rightarrow d \cdot g \cdot H' = \frac{d \cdot g \cdot H}{2} \Rightarrow H' = \frac{H}{2} \Rightarrow H' = 0, 4 m$

Logo, o volume que escoa por ser obtido por:

$ΔV = A \cdot H' \Rightarrow ΔV = 3 \cdot 10^{- 2} \cdot 0, 4 \Rightarrow ΔV = 1, 2 \cdot 10^{- 3} m^{3}$

b) No intervalo de 30 s, o volume de líquido que escoa é:

$Z = \frac{ΔV}{Δt} \Rightarrow 2 \cdot 10^{- 4} = \frac{ΔV}{30} \Rightarrow ΔV = 6 \cdot 10^{- 3} m^{3}$

A altura da coluna de líquido que desce é a mesma altura da coluna de ar que se forma. Logo, tem-se:

$ΔV = A \cdot ΔH \Rightarrow 6 \cdot 10^{- 3} = 3 \cdot 10^{- 2} \cdot ΔH \Rightarrow ΔH = 0, 2 m$

Como nessa coluna de ar, forma-se o harmônico fundamental do tubo fechado, tem-se:

$ΔH = \frac{λ}{4} \Rightarrow λ = 4 \cdot ΔH \Rightarrow λ = 0, 8 m$

Aplicando-se esse resultado na equação fundamental das ondas:

$v = λ \cdot f \Rightarrow 340 = 0, 8 \cdot f \Rightarrow f = 425 Hz$

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