Dissertativa 9 - 2ª Fase - Dia 1 - ITA 2026

a) Como os focos estão em $\left(-6, 0\right)$ e $\left(6, 0\right)$, a hipérbole está centrada na origem, tem eixo real sobre o eixo x e tem semidistância focal $\mathrm{c}=6$.

A excentricidade é 3:

$\mathrm{e}=3\Rightarrow \frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}=3\Rightarrow \frac{6}{\mathrm{a}}=3\Rightarrow \mathrm{a}=2$

Tem-se:

${\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2={\mathrm{c}}^2\Rightarrow 2^2+{\mathrm{b}}^2=6^2\Rightarrow {\mathrm{b}}^2=32\Rightarrow \mathrm{b}=4\sqrt{2}$

A equação da hipérbole é dada por:

$\frac{{\mathrm{x}}^2}{{\mathrm{a}}^2}-\frac{{\mathrm{y}}^2}{{\mathrm{b}}^2}=1\Rightarrow \frac{{\mathrm{x}}^2}{4}-\frac{{\mathrm{y}}^2}{32}=1\Rightarrow 8{\mathrm{x}}^2-{\mathrm{y}}^2=32 \left(*\right)$

A equação da tangente que passa por $\left(0,-8\right)$ tem a forma:

$\mathrm{y}=\mathrm{mx}-8 \left(**\right)$

Substituindo $\left(**\right)$ em $\left(*\right)$, tem-se:

$8{\mathrm{x}}^2-(\mathrm{mx}-8{)}^2=32\Rightarrow (8-{\mathrm{m}}^2){\mathrm{x}}^2+16\mathrm{mx}-96=0 \left(***\right)$

Para que a reta seja tangente, o discriminante de $\left(***\right)$ deve ser zero. Logo:

$\mathrm{\Delta }=0\Rightarrow (16\mathrm{m}{)}^2-4·(8-{\mathrm{m}}^2\left)\right(-96)\Rightarrow {\mathrm{m}}^2=\frac{3072}{128}=24\Rightarrow \mathrm{m}=\pm 2\sqrt{6}$

Portanto, as equações das tangentes pedidas são:

$\boxed{\left({\mathrm{t}}_1\right):\mathrm{y}=2\sqrt{6}\mathrm{x}-8}$ e $\boxed{\left({\mathrm{t}}_2\right):\mathrm{y}=-2\sqrt{6}\mathrm{x}-8}$

b) Derivando $\left(*\right)$ implicitamente, tem-se:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}(8{\mathrm{x}}^2-{\mathrm{y}}^2)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(32\right)\Rightarrow \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(8{\mathrm{x}}^2\right)-\frac{{\mathrm{dy}}^2}{\mathrm{dy}}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=0\Rightarrow 16\mathrm{x}-2\mathrm{y}·\mathrm{m}=0\Rightarrow \mathrm{m}=\frac{8\mathrm{x}}{\mathrm{y}}$

Observando da figura que os pontos de tangência tem $\mathrm{y}>0$, tem-se:

$\mathrm{m}=2\sqrt{6}\Rightarrow \frac{8\mathrm{x}}{\mathrm{y}}=2\sqrt{6}\Rightarrow \mathrm{x}=\frac{\sqrt{6}}{4}\mathrm{y}$

Substituindo em $\left(*\right)$:

$8{\left(\frac{\sqrt{6}}{4}\mathrm{y}\right)}^2-{\mathrm{y}}^2=32\Rightarrow 3{\mathrm{y}}^2-{\mathrm{y}}^2=32\Rightarrow {\mathrm{y}}^2=16\Rightarrow \mathrm{y}=4$ e $\mathrm{x}=\frac{\sqrt{6}}{4}·4=\sqrt{6}$

Então:

$\mathrm{m}=-2\sqrt{6}\Rightarrow \frac{8\mathrm{x}}{\mathrm{y}}=-2\sqrt{6}\Rightarrow \mathrm{x}=-\frac{\sqrt{6}}{4}\mathrm{y}$

De maneira análoga:

$\mathrm{y}=4$ e $\mathrm{x}=-\frac{\sqrt{6}}{4}·4=-\sqrt{6}$

Logo, os pontos de tangência são:

$\boxed{{\mathrm{T}}_1=\left(-\sqrt{6},4\right)}$ e $\boxed{{\mathrm{T}}_2=\left(\sqrt{6},4\right)}$