Dissertativa 10 - 2ª Fase - Dia 1 - ITA 2026

a) Observe a figura. Tem-se que $\mathrm{AP}=\mathrm{PQ}=\mathrm{AQ}$. Isso implica que o triângulo $\mathrm{APQ}$ é equilátero, que o ângulo $\mathrm{P}\hat{\mathrm{A}}\mathrm{M}$ mede $30°$ e o ângulo central $\mathrm{P}\hat{\mathrm{C}}\mathrm{M}$ mede $60°$.

No triângulo retângulo $\mathrm{CMP}$:

$\mathrm{CM} =\mathrm{k}, \mathrm{PM} =\mathrm{k}\sqrt{3} \mathrm{e} \mathrm{PC} = 2\mathrm{k}$

Do enunciado, $\mathrm{PB}=\mathrm{PQ}\sqrt{2+\sqrt{3}}=2\mathrm{k}\sqrt{3}\sqrt{2+\sqrt{3}}$.

No triângulo $\mathrm{PMB}$:

$$\begin{gathered} \mathrm{sen}\left(\mathrm{P}\hat{\mathrm{B}}\mathrm{M}\right)=\frac{\mathrm{PM}}{\mathrm{PB}}=\frac{\mathrm{k}\sqrt{3}}{2\mathrm{k}\sqrt{3}\sqrt{2+\sqrt{3}}}=\frac{1}{\sqrt{8+4\sqrt{3}}}=\frac{1}{\sqrt{8+2\sqrt{12}}}=\frac{1}{\sqrt{6+2·\sqrt{6}\sqrt{2}+2}}\Rightarrow \\ \mathrm{sen}\left(\mathrm{P}\hat{\mathrm{B}}\mathrm{M}\right)=\frac{1}{\sqrt{{\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)}^2}}=\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}·\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\Rightarrow \mathrm{P}\hat{\mathrm{B}}\mathrm{M}=15° \end{gathered}$$

Na circunferência de centro $\mathrm{D}$, o ângulo central $\mathrm{P}\hat{\mathrm{D}}\mathrm{M}$ enxerga o mesmo arco que $\mathrm{P}\hat{\mathrm{B}}\mathrm{M}$ e mede, portanto, $30°$.

No triângulo $\mathrm{PDM}$, $\mathrm{PD}=2\mathrm{PM}=2\mathrm{k}\sqrt{3}$ e $\mathrm{DM}=\mathrm{PM}\sqrt{3}=\mathrm{k}\sqrt{3}·\sqrt{3}=3\mathrm{k}$. Como $\mathrm{PD}$ é o raio da circunferência de centro $\mathrm{D}$, tem-se $\mathrm{BD}=\mathrm{PD}=2\mathrm{k}\sqrt{3}$.

Finalmente:

$$\begin{gathered} \mathrm{AC}+\mathrm{CM}+\mathrm{MD}+\mathrm{DB}=\mathrm{AB}\Rightarrow 2\mathrm{k}+\mathrm{k}+3\mathrm{k}+2\mathrm{k}\sqrt{3}=6\left(1+\sqrt{3}\right)\Rightarrow 6\mathrm{k}+2\mathrm{k}\sqrt{3}=6\left(1+\sqrt{3}\right) \\ \Rightarrow 2\mathrm{k}\sqrt{3}\left(\sqrt{3}+1\right)=6\left(\sqrt{3}+1\right)\Rightarrow \mathrm{k}=\sqrt{3} \end{gathered}$$

Os raios das circunferências de centros $\mathrm{C}$ e $\mathrm{D}$ são, respectivamente:

$\boxed{\mathrm{CP}=2\mathrm{k}=2\sqrt{3}}$ e $\boxed{\mathrm{DP}=2\mathrm{k}\sqrt{3}=6}$

b) A área $\mathrm{S}$ pedida é a soma das áreas de dois segmentos circulares, um com raio $2\sqrt{3}$ e ângulo $120°$ e outro com raio $6$ e ângulo $60°$.

Assim:

$$\begin{gathered} \mathrm{S}=\left(\frac{\mathrm{\pi }{\left(2\sqrt{3}\right)}^2}{3}-\frac{1}{2}·2\sqrt{3}·2\sqrt{3}·\mathrm{sen}120°\right)+\left(\frac{\mathrm{\pi }{\left(6\right)}^2}{6}-6^2\frac{\sqrt{3}}{4}\right) \\ \mathrm{S}=\left(4\mathrm{\pi }-3\sqrt{3}\right)+\left(6\mathrm{\pi }-9\sqrt{3}\right) \\ \boxed{\mathrm{S}=10\mathrm{\pi }-12\sqrt{3}} \end{gathered}$$