Dissertativa 3 - 2ª Fase - Dia 1 - ITA 2026

 

No triângulo AIT:

 

Assim:

Como $\mathrm{tg}2\mathrm{\beta }=\frac{1}{\mathrm{tg}2\mathrm{\alpha }}$, os ângulos $2\mathrm{\alpha }$ e $2\mathrm{\beta }$ são complementares e o triângulo ABX é retângulo em B. Pelos valores das tangentes, ele tem lados proporcionais a 3, 4 e 5, sendo:

 

(v) O paralelogramo é dividido por suas diagonais em quatro triângulos de mesma área. Portanto:

$\left[\mathrm{ABCD}\right]=4·\left[\mathrm{ABX}\right]=4·\frac{1}{2}·\frac{3\sqrt{5}}{2}·\frac{4\sqrt{5}}{2}=\boxed{30}$ 

 

(i) Encontrando o ponto X, interseção das diagonais:

$\left\{\begin{array}{c}-\mathrm{x}+2\mathrm{y}=2\\ \mathrm{x}+2\mathrm{y}=8\end{array}\iff \left\{\begin{array}{c}2\mathrm{x}=6\\ 4\mathrm{y}=10\end{array}\iff \right.\right.\mathrm{X}=\left(3, \frac{5}{2}\right)$

(ii) X é o ponto médio da diagonal $\overline{\mathrm{AC}}$. Logo:

$$\begin{gathered} \frac{{\mathrm{x}}_{\mathrm{A}}+{\mathrm{x}}_{\mathrm{C}}}{2}={\mathrm{x}}_{\mathrm{X}}\iff \frac{{\mathrm{x}}_{\mathrm{A}}+8}{2}=3\iff {\mathrm{x}}_{\mathrm{A}}=-2 \\ \frac{{\mathrm{y}}_{\mathrm{A}}+{\mathrm{y}}_{\mathrm{C}}}{2}={\mathrm{y}}_{\mathrm{X}}\iff \frac{{\mathrm{y}}_{\mathrm{A}}+5}{2}=\frac{5}{2}\iff {\mathrm{y}}_{\mathrm{A}}=0 \end{gathered}$$

Assim: $\mathrm{A}=\left(-2; 0\right)$.

Nota-se que há duas tangentes que partem de A e tocam na circunferência inscrita em ABX. A equação geral dessas tangentes é da forma:

$\mathrm{y}=\mathrm{m}\left(\mathrm{x}+2\right)$

Como a distância do centro da circunferência $\left(\frac{1}{2}, \frac{5}{2}\right)$ até a reta tangente deve ser igual ao raio, tem-se:

$$\begin{gathered} \frac{\sqrt{5}}{2}=\frac{\left|\mathrm{m}\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)-\left({\displaystyle \frac{5}{2}}\right)+2\mathrm{m}\right|}{\sqrt{{\mathrm{m}}^2+1}}\Rightarrow \frac{5}{4}=\frac{{\left({\displaystyle \frac{5\mathrm{m}}{2}}-{\displaystyle \frac{5}{2}}\right)}^2}{{\mathrm{m}}^2+1} \\ 5{\mathrm{m}}^2+5=25{\mathrm{m}}^2-50\mathrm{m}+25\Rightarrow 2{\mathrm{m}}^2-5\mathrm{m}+2=0\Rightarrow \mathrm{m}=\frac{1}{2} \mathrm{ou} \mathrm{m} =2 \end{gathered}$$

Como, para $\mathrm{m}=\frac{1}{2}$, já tem-se a reta r, a outra tangente será: $\mathrm{y}=2\mathrm{x}+4$.

Nota-se que o ponto B é a solução de $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=2\mathrm{x}+4\\ \mathrm{x}+2\mathrm{y}=8\end{array}\Rightarrow \mathrm{B}=\left(0; 4\right)\right.$

Logo, a área de ABX é: $\frac{1}{2}\left| \left|\begin{array}{ccc}0& 4& 1\\ -2& 0& 1\\ 3& \frac{5}{2}& 1\end{array}\right| \right|=\frac{15}{2}$

Como $\left[\mathrm{ABCD}\right]=4\left[\mathrm{ABX}\right]\Rightarrow \boxed{\left[\mathrm{ABCD}\right]=4·\frac{15}{2}=30}$