Dissertativa 2 - 2ª Fase - Dia 1 - ITA 2026

Calculando-se algumas potências, vem:

$\mathrm{A}=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right], {\mathrm{A}}^2=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 5\\ 0& 1& 2\\ 0& 0& 1\end{array}\right], {\mathrm{A}}^3=\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 9\\ 0& 1& 3\\ 0& 0& 1\end{array}\right], {\mathrm{A}}^4=\left[\begin{array}{ccc}1& 4& 14\\ 0& 1& 4\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

Daqui, percebe-se que ${\mathrm{A}}^{\mathrm{n}}=\left[\begin{array}{ccc}1& \mathrm{n}& \frac{{\mathrm{n}}^2+3\mathrm{n}}{2}\\ 0& 1& \mathrm{n}\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$ é a expressão correta, pois é satisfeita para n = 1, 2, 3 e 4.

Isso pode ser provado mostrando que, se a expressão vale para k, ela também vale para k + 1.

${\mathrm{A}}^{\mathrm{k}+1}={\mathrm{A}}^{\mathrm{k}}·\mathrm{A}=\left[\begin{array}{ccc}1& \mathrm{k}& \frac{{\mathrm{k}}^2+3\mathrm{k}}{2}\\ 0& 1& \mathrm{k}\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& \mathrm{k}+1& \frac{{\left(\mathrm{k}+1\right)}^2+3\left(\mathrm{k}+1\right)}{2}\\ 0& 1& \mathrm{k}+1\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

Então, deseja-se que $\frac{{\mathrm{n}}^2+3\mathrm{n}}{2}>119$, o que implica que n > 14 ou n < –17.

Logo, $\boxed{\mathrm{n}=15}$.