Dissertativa 8 - 2ª Fase - Dia 1 - ITA 2026

$\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}=100, \left\{\begin{array}{l}\mathrm{a}<\mathrm{b}<\mathrm{c}\\ \mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c} \ge 1\end{array}\right.$

Fazendo:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{a}=\mathrm{x}+1\\ \mathrm{b}=\mathrm{y}+1 \\ \mathrm{c}=\mathrm{z}+1\end{array} , \mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}\ge 0\right. \end{gathered}$$

Tem-se:

$\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}=97$, que possui $\left(\begin{array}{c}99\\ 2\end{array}\right)$ soluções inteiras não negativas. Dessas soluções, têm-se algumas com $\mathrm{x}=\mathrm{y}\ne \mathrm{z}$, $\mathrm{x}=\mathrm{z}\ne \mathrm{y}$, $\mathrm{y}=\mathrm{z}\ne \mathrm{x}$.

Nota-se que não se pode ter $\mathrm{x}=\mathrm{y}=\mathrm{z}$, pois 3 não divide 97.

Calculando as soluções de $\mathrm{x}=\mathrm{y}\ne \mathrm{z}$ tem-se: $2\mathrm{x}+\mathrm{z}=97$, que possui 49 soluções dado que $\mathrm{x} \in \left\{0, 1, ..., 48\right\}$.

Sendo assim, tem-se:

$\left(\begin{array}{c}99\\ 2\end{array}\right)-3\times 49$ soluções com $\mathrm{x}\ne \mathrm{y}\ne \mathrm{z}$.

Nota-se que há 6 permutações para $\left(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}\right)$ que resolvem $\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}=97$, com $\mathrm{x}\ne \mathrm{y}\ne \mathrm{z}$. Só que, dessas 6, apenas 1 tem $\mathrm{x}<\mathrm{y}<\mathrm{z}$.

Logo, o total de soluções é:

$\frac{1}{6}\left[\left(\begin{array}{c}99\\ 2\end{array}\right)-3\times 49\right]=\boxed{784}$