Dissertativa 9 - 2ª Fase - Dia 2 - IME 2027

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Questão 9

Dissertativa

Uma esfera, cuja superfície externa é perfeitamente refletora, tem seu centro fixo no ponto de coordenadas (L, h). Seu raio R aumenta linearmente com o tempo segundo a equação:

$R (t) = u t$ .

No instante $t = 0$ , um fóton parte da origem propagando-se à velocidade da luz na direção da reta $x = \sqrt{3} y$ , nos sentidos positivos de ambos os eixos.

Em determinado instante, o fóton atinge a superfície da esfera e passa a propagar-se paralelamente ao eixo y, em seu sentido negativo.

Dado:

velocidade da luz: c.

Observações:

$t \geq 0$ ;
$h > 0$ ;
$L > 0$ ;
$u < c;$
para determinar a direção do fóton refletido, despreze os efeitos do movimento da superfície da esfera e os efeitos relativísticos.

Determine:
a) a velocidade u de expansão do raio da esfera em função de h, L e c;
b) a condição à qual as coordenadas h e L devem satisfazer para que a imposição física do problema seja possível.

Resolução:

O fóton chega a $P$ formando $30^{\circ}$ com a horizontal e sai paralelo ao eixo $y$ , no sentido negativo. Assim, em $P$ , o raio incidente e o raio refletido formam $60^{\circ}$ entre si, e a normal à superfície é a bissetriz desse ângulo:

$i = r = 30^{\circ}$

Como a normal à superfície esférica passa pelo centro $C$ , o segmento $P C$ forma $30^{\circ}$ com a vertical. Até o instante $t$ do choque, o fóton percorre $O P = c t$ e o raio da esfera vale $P C = u t$ :

Projetando $O \to P \to C$ nos eixos:

$\frac{c t \sqrt{3}}{2} + \frac{u t}{2} = L$

$\frac{c t}{2} + \frac{u t \sqrt{3}}{2} = h$

a) Multiplicando a segunda equação por $\sqrt{3}$ e subtraindo a primeira:

$u t = \sqrt{3} h - L$

Multiplicando a primeira equação por $\sqrt{3}$ e subtraindo a segunda:

$c t = \sqrt{3} L - h$

Dividindo as duas expressões:

$\frac{u}{c} = \frac{\sqrt{3} h - L}{\sqrt{3} L - h}$

$\Rightarrow u = c \frac{\sqrt{3} h - L}{\sqrt{3} L - h}$

b) Como $t > 0$ e $u > 0$ , devemos ter $u t > 0$ e $c t > 0$ :

$\sqrt{3} h - L > 0 \Rightarrow h > \frac{L}{\sqrt{3}}$

$\sqrt{3} L - h > 0 \Rightarrow h < \sqrt{3} L$

Além disso, $u < c$ :

$\sqrt{3} h - L < \sqrt{3} L - h$

$(\sqrt{3} + 1) h < (\sqrt{3} + 1) L \Rightarrow h < L$

Como $L < \sqrt{3} L$ , a condição $h < \sqrt{3} L$ já está garantida.

$\Rightarrow \frac{L}{\sqrt{3}} < h < L$

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