Dissertativa 2 - 2ª Fase - Dia 2 - IME 2027

a) Sejam $\mathrm{A}$ e $\mathrm{B}$ as forças que os apoios A e B fazem sobre o guindaste.

Note que a única barra conectada em B é vertical. Logo, não há fonte de esforço horizontal. Assim, ${\mathrm{B}}_{\mathrm{x}}=0$.

Equilíbrio do guindaste inteiro:

      $\sum {\mathrm{F}}_{\mathrm{x}}=0\Rightarrow {\mathrm{A}}_{\mathrm{x}}+{\mathrm{B}}_{\mathrm{x}}=0\Rightarrow {\mathrm{A}}_{\mathrm{x}}=0$

      $\sum {\mathrm{F}}_{\mathrm{y}}=0\Rightarrow {\mathrm{A}}_{\mathrm{y}}+{\mathrm{B}}_{\mathrm{y}}=\mathrm{P}\Rightarrow {\mathrm{A}}_{\mathrm{y}}+{\mathrm{B}}_{\mathrm{y}}=100\text{(I)}$

Equilíbrio rotacional do guindaste em relação ao apoio B:

      $\mathrm{P}·(3+3)={\mathrm{A}}_{\mathrm{y}}·3\Rightarrow {\mathrm{A}}_{\mathrm{y}}=200\text{ kN}(\uparrow )\text{(II)}$

(II) em (I):

      $200+{\mathrm{B}}_{\mathrm{y}}=100\Rightarrow {\mathrm{B}}_{\mathrm{y}}=-100\Rightarrow {\mathrm{B}}_{\mathrm{y}}=100\text{ kN}(\downarrow )$

Portanto:

      $\boxed{\mathrm{A}=200\text{ kN, vertical e para cima.}}$

      $\boxed{\mathrm{B}=100\text{ kN, vertical e para baixo.}}$

b) Suponha que as barras estejam todas tracionadas, isto é, que a barra puxa o nó e o nó puxa a barra. Se a força através da barra for positiva, ela de fato estará tracionada; se for negativa, estará comprimida. Note que a barra inclinada tem projeção vertical 4 e horizontal 3; logo, faz um ângulo agudo $\mathrm{\theta }$ com a horizontal, tal que $\mathrm{sen\theta }=4/5$ e $\mathrm{cos\theta }=3/5$.

Equilíbrio do nó C:

      $\frac{4}{5}{\mathrm{N}}_{\mathrm{CF}}=\mathrm{P}\Rightarrow {\mathrm{N}}_{\mathrm{CF}}=125\text{ kN}\left(\text{tração}\right)$

      ${\mathrm{N}}_{\mathrm{CD}}+\frac{3}{5}{\mathrm{N}}_{\mathrm{CF}}=0\Rightarrow {\mathrm{N}}_{\mathrm{CD}}=-75\text{ kN}\left(\text{compressão}\right)$

Equilíbrio do nó F:

      $\frac{3}{5}{\mathrm{N}}_{\mathrm{EF}}=\frac{3}{5}{\mathrm{N}}_{\mathrm{CF}}\Rightarrow {\mathrm{N}}_{\mathrm{EF}}=125\text{ kN}\left(\text{tração}\right)$

      ${\mathrm{N}}_{\mathrm{DF}}=-(\frac{4}{5}{\mathrm{N}}_{\mathrm{CF}}+\frac{4}{5}{\mathrm{N}}_{\mathrm{EF}})\Rightarrow {\mathrm{N}}_{\mathrm{DF}}=-200\text{ kN}\left(\text{compressão}\right)$

Equilíbrio do nó D:

      ${\mathrm{N}}_{\mathrm{DE}}={\mathrm{N}}_{\mathrm{CD}}=-75\text{ kN}\left(\text{compressão}\right)$

      ${\mathrm{N}}_{\mathrm{AD}}={\mathrm{N}}_{\mathrm{DF}}=-200\text{ kN}\left(\text{compressão}\right)$

Equilíbrio do nó E:

      $75-75-\frac{3}{5}{\mathrm{N}}_{\mathrm{AE}}=0\Rightarrow {\mathrm{N}}_{\mathrm{AE}}=0$

      ${\mathrm{N}}_{\mathrm{BE}}=\frac{4}{5}{\mathrm{N}}_{\mathrm{EF}}\Rightarrow {\mathrm{N}}_{\mathrm{BE}}=100\text{ kN}\left(\text{tração}\right)$

Em resumo:

      $\boxed{\begin{array}{cccc}{\mathrm{N}}_{\mathrm{CD}}=75\text{ kN }\left(\mathrm{C}\right)& {\mathrm{N}}_{\mathrm{CF}}=125\text{ kN }\left(\mathrm{T}\right)& {\mathrm{N}}_{\mathrm{DF}}=200\text{ kN }\left(\mathrm{C}\right)& {\mathrm{N}}_{\mathrm{AD}}=200\text{ kN }\left(\mathrm{C}\right)\\ {\mathrm{N}}_{\mathrm{AE}}=0& {\mathrm{N}}_{\mathrm{DE}}=75\text{ kN }\left(\mathrm{C}\right)& {\mathrm{N}}_{\mathrm{BE}}=100\text{ kN }\left(\mathrm{T}\right)& {\mathrm{N}}_{\mathrm{EF}}=125\text{ kN }\left(\mathrm{T}\right)\end{array}}$

c) Note que ${\mathrm{N}}_{\mathrm{AE}}=0$, ou seja, não sobra nada para $\mathrm{AE}$ suportar. Porém, isso vale apenas para a situação do enunciado. No caso geral, a barra AE tem duas utilidades:

(i) Para outra distribuição de esforços sobre o guindaste, seria possível ter ${\mathrm{N}}_{\mathrm{AE}}\ne 0$.

(ii) Independentemente do valor de ${\mathrm{N}}_{\mathrm{AE}}$, a barra garante a rigidez da estrutura. Se não houvesse conexão entre os nós $\mathrm{A}$ e $\mathrm{E}$, o quadrilátero ADEB funcionaria como um paralelogramo articulado e poderia se deformar, fazendo o guindaste balançar lateralmente.