Dissertativa 8 - 2ª Fase - Dia 2 - IME 2027

A distância entre duas linhas consecutivas da rede é:

$\mathrm{d}=\frac{1}{400}\mathrm{mm}=2,5·{10}^{-6}\mathrm{m}$

Para os máximos da rede de difração:

$$\begin{gathered} \mathrm{d} {\mathrm{sen\theta }}_{\mathrm{m}}=\mathrm{m\lambda } \\ {\mathrm{sen\theta }}_{\mathrm{m}}=\frac{\mathrm{m}·625·{10}^{-9}}{2,5·{10}^{-6}}=\frac{\mathrm{m}}{4} \end{gathered}$$

Para $\mathrm{m}=4$, ter-se-ia $\mathrm{\theta }=90°$, ou seja, a luz sairia rasante à rede e não atingiria o anteparo. Assim, os máximos possíveis são $\mathrm{m}=0,\pm 1,\pm 2,\pm 3$, totalizando 7 máximos, que é o número observado antes de ${\mathrm{t}}_1$.

As direções dos máximos são fixas, pois dependem apenas de d e $\mathrm{\lambda }$. Um máximo de ordem m atinge o anteparo, a uma distância D da rede, na posição:

${\mathrm{y}}_{\mathrm{m}}={\mathrm{Dtg\theta }}_{\mathrm{m}}$

Como os ângulos não são pequenos, calculam-se as tangentes:

$$\begin{gathered} {\mathrm{tg\theta }}_1=\frac{\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$4$}\right.}{\raisebox{1ex}{$\sqrt{15}$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$4$}\right.}=\frac{1}{\sqrt{15}} \\ {\mathrm{tg\theta }}_2=\frac{\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}{\raisebox{1ex}{$\sqrt{3}$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}=\frac{1}{\sqrt{3}} \\ {\mathrm{tg\theta }}_3=\frac{\raisebox{1ex}{$3$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$4$}\right.}{\raisebox{1ex}{$\sqrt{7}$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$4$}\right.}=\frac{3}{\sqrt{7}} \end{gathered}$$

O máximo de ordem m é observado enquanto ${\mathrm{y}}_{\mathrm{m}}\le \frac{\mathrm{L}}{2}=0,6\mathrm{m}$. A figura mostra as direções dos máximos e o anteparo nas posições relevantes:

a) Como ${\mathrm{y}}_{\mathrm{m}}={\mathrm{Dtg\theta }}_{\mathrm{m}}$, ao aumentar D, os máximos se afastam do centro e os mais externos deixam o anteparo pelas bordas. Como o número de máximos diminui $\left(7\Rightarrow 5\Rightarrow 3\right)$, D está aumentando:

Portanto, $\boxed{\mathrm{o} \mathrm{anteparo} \mathrm{está} \mathrm{se} \mathrm{afastando} \mathrm{da} \mathrm{rede}}$

b) Em ${\mathrm{t}}_1$, os máximos de ordem $\pm 3$ deixam o anteparo:

$$\begin{gathered} {\mathrm{D}}_1{\mathrm{tg\theta }}_3=\frac{\mathrm{L}}{2} \\ {\mathrm{D}}_1\frac{3}{\sqrt{7}}=0,6 \\ {\mathrm{D}}_1=0,2\sqrt{7}=0,2·2,65 \\ \Rightarrow \boxed{{\mathrm{D}}_1=0,53 \mathrm{m}} \end{gathered}$$

c) Em ${\mathrm{t}}_1+2 \mathrm{s}$, os máximos de ordem $\pm 2$ deixam o anteparo:

$$\begin{gathered} {\mathrm{D}}_2\frac{1}{\sqrt{3}}=0,6 \\ {\mathrm{D}}_2=0,6\sqrt{3}=0,6·1,73=1,038 \mathrm{m} \end{gathered}$$

Como o movimento é uniforme:

$$\begin{gathered} \mathrm{v}=\frac{{\mathrm{D}}_2-{\mathrm{D}}_1}{∆\mathrm{t}}=\frac{1,038-0,530}{2} \\ \Rightarrow \boxed{\mathrm{v}=0,254 \mathrm{m}/\mathrm{s}} \end{gathered}$$

d) Resta apenas o máximo central quando os máximos de ordem $\pm 1$ deixam o anteparo:

$$\begin{gathered} {\mathrm{D}}_3\frac{1}{\sqrt{15}}=0,6 \\ {\mathrm{D}}_3=0,6\sqrt{15}=0,6·3,87=2,322 \mathrm{m} \end{gathered}$$

Assim, a distância percorrida desde ${\mathrm{t}}_1$ é:

$$\begin{gathered} ∆\mathrm{s}={\mathrm{D}}_3-{\mathrm{D}}_1=2,322-0,530 \\ \Rightarrow \boxed{∆\mathrm{s}=1,792\mathrm{m}} \end{gathered}$$