Dissertativa 10 - 2ª Fase - Dia 2 - IME 2027

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Questão 10

Dissertativa

Numa situação a ser escolhida, uma partícula carregada positivamente se desloca à velocidade v vertical de forma equidistante a dois fios infinitos e no mesmo plano deles, sendo que, supondo haver um pequeno desvio horizontal de trajetória, haverá uma força restauradora sobre a partícula, mantendo-a no movimento quase vertical.

Dados:

distância entre os dois fios: d;
massa da partícula: m;
carga positiva da partícula: q;
correntes elétricas rigorosamente iguais em cada fio: i;
velocidade escalar da partícula: v;
permeabilidade magnética do meio: $μ_{0}$ ;
1/(1 + x) ≈ 1 − x para |x| ≪ 1.

Observação:
• assume-se que o movimento continua confinado ao plano dos fios mesmo após eventuais desvios.

Considerando as 4 situações ilustradas, determine:

a(s) que poderá(ão) ser escolhida(s) para satisfazer à condição de restauração horizontal supracitada, justificando a escolha ou não para cada uma das situações;
o valor aproximado do passo p, indicado na figura mais à direita, para oscilações de pequenas amplitudes, que caracteriza a distância entre dois cruzamentos pelo eixo y na(s) situação(ões) escolhida(s) no item anterior.

Resolução:

Adotamos o eixo $x$ horizontal, com origem no eixo de simetria entre os fios, e o eixo $y$ vertical, para cima. A partícula é deslocada de $x$ ( $| x | ≪ d$ ) em relação ao eixo de simetria.

a) Situações 1 e 4 (correntes em sentidos opostos): no eixo de simetria, os campos magnéticos dos dois fios têm o mesmo sentido e se somam:

$B = 2 \cdot \frac{μ_{0} i}{2 π \frac{d}{2}} = \frac{2 μ_{0} i}{π d}$

Como $\vec{v}$ é perpendicular a $\vec{B}$ , a força magnética, de intensidade $q v B$ , é horizontal e não nula já no eixo de simetria. Assim, a partícula não consegue se deslocar verticalmente equidistante dos fios e as situações 1 e 4 não podem ser escolhidas.

Situações 2 e 3 (correntes no mesmo sentido): no eixo de simetria, os campos dos dois fios se anulam. Para a partícula deslocada de $x$ , prevalece o campo do fio mais próximo:

$B = \frac{μ_{0} i}{2 π (\frac{d}{2} - x)} - \frac{μ_{0} i}{2 π (\frac{d}{2} + x)}$

$B = \frac{μ_{0} i}{π d} [{(1 - \frac{2 x}{d})}^{- 1} - {(1 + \frac{2 x}{d})}^{- 1}]$

Usando a aproximação do enunciado:

$B \approx \frac{μ_{0} i}{π d} [(1 + \frac{2 x}{d}) - (1 - \frac{2 x}{d})] = \frac{4 μ_{0} i}{π d^{2}} x$

Com as correntes para cima e $x > 0$ , $\vec{B}$ sai do plano dos fios. Pela regra da mão direita:

Situação 3 ( $\vec{v}$ para cima): a força aponta para $+ x$ , afastando a partícula do eixo de simetria. Não há restauração.

Situação 2 ( $\vec{v}$ para baixo): a força aponta para $- x$ , trazendo a partícula de volta ao eixo de simetria, como mostra a figura.

$∴ somente a situação 2$

b) A força magnética não realiza trabalho, de modo que a velocidade escalar permanece igual a $v$ . Para pequenas oscilações, a componente horizontal da velocidade é muito menor que $v$ , e a componente vertical permanece praticamente igual a $v$ .

Na direção horizontal:

$F = - q v B = - \frac{4 μ_{0} i q v}{π d^{2}} x$

Trata-se de um MHS com:

$k = \frac{4 μ_{0} i q v}{π d^{2}} \Rightarrow T = 2 π \sqrt{\frac{m}{k}}$

$∴ T = \frac{π d}{2} \sqrt{\frac{m π}{μ_{0} i q v}}$

A partícula percorre verticalmente:

$p = v \frac{T}{2} = \frac{π v}{2} \sqrt{\frac{π m d^{2}}{μ_{0} i q v}}$

$∴ p = \frac{π d}{2} \sqrt{\frac{π m v}{μ_{0} i q}}$

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