Questão 50 - Unicamp - Q e X - Unicamp 2026

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Gabarito

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ANL
Questão anulada
S/A
Sem alternativas

Questão 50

Objetiva

A figura a seguir mostra um quadrado ABCD de lado medindo x. O ponto médio do lado AB está representado por M. Os pontos P e Q, pertencentes ao lado CD, são tais que PD = QC. O ângulo PMQ, representado por θ na figura, é tal que cos(θ) = 2/3.

A área do triângulo PMQ é

Alternativas

A
$\frac{\sqrt{5} x^{2}}{5}$ .
B
$\frac{\sqrt{3} x^{2}}{2}$ .
C
$\frac{\sqrt{2} x^{2}}{2}$ .
D
$\frac{\sqrt{3} x^{2}}{4}$ .

Gabarito:
A

I) No triângulo PMQ, utilizando a lei dos cossenos, tem-se:

${PQ}^{2} = a^{2} + a^{2} - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos θ \Rightarrow {PQ}^{2} = 2 a^{2} - 2 a^{2} \cdot \frac{2}{3} \Rightarrow \Rightarrow {PQ}^{2} = \frac{2 a^{2}}{3} \Rightarrow PQ = \frac{a \sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{a \sqrt{6}}{3}$

II) No triângulo retângulo PMH, pelo teorema de Pitágoras, tem-se:

$x^{2} + {(\frac{a \sqrt{6}}{6})}^{2} = a^{2} \Rightarrow x^{2} = a^{2} - \frac{a^{2}}{6} = \frac{5 a^{2}}{6} \Rightarrow x = \frac{a \sqrt{5}}{\sqrt{6}} \Rightarrow a = \frac{x \sqrt{6}}{\sqrt{5}}$

III) A área do triângulo PMQ é dada por:

$A = \frac{b \cdot h}{2} = \frac{\frac{a \sqrt{6}}{3} \cdot x}{2} \Rightarrow A = \frac{\frac{x \sqrt{6}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{3} \cdot x}{2} \Rightarrow A = \frac{x^{2} \sqrt{5}}{5}$

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