Dissertação 9 - ITA - 2ª Fase Dia 1 - ITA 2025

Se ${\mathrm{A}}^{-1}={\mathrm{A}}^{\mathrm{T}}$, então, tem-se $\mathrm{A}·{\mathrm{A}}^{\mathrm{T}}={\mathrm{I}}_5$.

Para ilustrar o que ocorre, seja $\left({\mathrm{a}}_{11}, {\mathrm{a}}_{12}, {\mathrm{a}}_{13}, {\mathrm{a}}_{14}, {\mathrm{a}}_{15}\right)$ a primeira linha de A. O elemento ${\mathrm{i}}_{11}$ da matriz identidade será formado pelo produto escalar entre a primeira linha de A e a primeira coluna de ${\mathrm{A}}^{\mathrm{T}}$. Assim:

${\mathrm{a}}_{11}^2+{\mathrm{a}}_{12}^2+{\mathrm{a}}_{13}^2+{\mathrm{a}}_{14}^2+{\mathrm{a}}_{15}^2=1$

Como as entradas são inteiras, a equação só tem solução se um dos elementos for $\pm 1$ e todos os demais forem 0. Pensando analogamente, para os demais elementos da diagonal principal da matriz identidade, conclui-se que, em cada linha da matriz A, existe um elemento igual a $\pm 1$e 4 elementos iguais a 0.

A matriz abaixo ilustra uma solução possível:

$\left(\begin{array}{ccccc}\pm 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& \pm 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& \pm 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& \pm 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& \pm 1\end{array}\right)$

Para montar as matrizes possíveis, toma-se duas decisões:

1. Escolhe-se o sinal (+ ou -) em cada um dos 5 elementos não nulos. Isso pode ser feito de $2^5$ maneiras.
2. Permuta-se as 5 linhas, o que pode ser feito de $5!$ maneiras.

Logo, o número de matrizes é $2^5·5!=\boxed{3 840}$.