Dissertação 2 - ITA - 2ª Fase Dia 1 - ITA 2025

Poliedro Resolve Resolução - ITA 1ª Fase 2025

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Matemática
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Questão 2

Dissertativa

Seja E uma elipse com eixo focal no eixo $O_{x}$ do sistema de coordenadas cartesiano. O centro de E é o ponto $(r, 0)$ , com $r > 0$ , sua excentricidade é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ , e seu semieixo maior mede $\sqrt{2}$ . Considerando os pontos $(x, y) \in E$ , determine o valor de $r$ para que $\frac{y}{x}$ tenha valor máximo igual a 1.

Resolução:

Sejam a, b, c e e respectivamente as medidas dos semieixo maior, semieixo menor, semi distancia focal e excentricidade.

Do enunciado: $a = \sqrt{2}, e = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Assim:

$c = e . a = \frac{\sqrt{2}}{2} . \sqrt{2} \Rightarrow e = 1 b ² + c ² = a ² \Rightarrow b ² + 1 = {(\sqrt{2})}^{2} \Rightarrow b = 1$

A equação da elipse de centro $C = (r, 0), r > 0$ é dada por:

$\frac{{(x - r)}^{2}}{a ²} + \frac{y ²}{b ²} = 1 \Rightarrow \frac{{(x - r)}^{2}}{{(\sqrt{2})}^{2}} = \frac{y ²}{b ²} = 1 \Rightarrow x ² - 2 xr + r ² + 2 y ² = 2 (*)$

Seja m o valor da razão $\frac{y}{x}$ . Podemos interpretar m como o coeficiente angular de uma reta que passa pela origem: $y = mx .$ Se $(x, y)$ é um ponto da elipse, o valor de m será máximo quando a reta for tangente a elipse. Veja a figura:

Como o enunciado pede que o máximo valor de m seja 1, a reta $y = x$ deve ser tangente a elipse. Façamos a intersecção da reta com a elipse, ou seja, vamos substituir $y = x$ em (*)

$x ² - 2 xr + r ² + 2 x ² = 2 \Rightarrow 3 x ² - 2 xr + r ² - 2 = 0 (* *)$

Para que a reta seja tangente a elipse, a equação (**) deve ter uma única solução. Logo:

$∆ = 0 \Rightarrow {(- 2 r)}^{2} - 4.3 . (r ² - 2) = 0 = 0 \Rightarrow 24 - 8 r ² = 0 \Rightarrow r = \sqrt{3}$

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