Dissertação 2 - ITA - 2ª Fase Dia 1 - ITA 2025

Gabarito

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  • Resolução pendente

  • ANL

    Questão anulada

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    Sem alternativas

Questão 2

Dissertativa
2

Seja E uma elipse com eixo focal no eixo Ox do sistema de coordenadas cartesiano. O centro de E é o ponto (r, 0), com r>0, sua excentricidade é 22, e seu semieixo maior mede 2. Considerando os pontos (x, y) E, determine o valor de r para que yx tenha valor máximo igual a 1.

Resolução:

Sejam a, b, c e e, respectivamente, as medidas dos semieixo maior, semieixo menor, semidistância focal e excentricidade.

Do enunciado: a=2,   e=22.

Assim:

c=e·a=22·2c=1b²+c²=a²b²+1=22b=1

A equação da elipse de centro C=(r, 0), r>0 é dada por:

(x-r)2a²+y²b²=1(x-r)222=y²b²=1x²-2xr+r²+2y²=2 (*)

Seja m o valor da razão yx. Pode-se interpretar m como o coeficiente angular de uma reta que passa pela origem: y=mx. Se (x, y) é um ponto da elipse, o valor de m será máximo quando a reta for tangente a elipse. Veja a figura: 

Como o enunciado pede que o máximo valor de m seja 1, a reta y=x deve ser tangente à elipse. Fazendo a intersecção da reta com a elipse, ou seja, substituindo y=x em (*), tem-se:

x²-2xr+r²+2x²=23x²-2xr+r²-2=0(**)

Para que a reta seja tangente à elipse, a equação (**) deve ter uma única solução. Logo:

=0-2r2-4·3·(r²-2)=0=024-8r²=0r=3

2

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