Dissertação 7 - ITA - 2ª Fase Dia 1 - ITA 2025

Sejam ${\mathrm{r}}_1, {\mathrm{r}}_2 \mathrm{e} {\mathrm{r}}_3$ as raízes de p(x). Como p(x) admite raiz real dupla, suponha, sem perda de generalidade, que ${\mathrm{r}}_1={\mathrm{r}}_2$.

Pelo Teorema da Raízes Múltiplas, temos que ${\mathrm{r}}_1$ é raiz simples do polinômio derivado p'(x). Assim:

$$\begin{gathered} \mathrm{p}\text{'}\left(\mathrm{x}\right) = 0 \\ 3·{\mathrm{x}}^2+2·\mathrm{a}·\mathrm{x}=0 \\ {\mathrm{r}}_1=0 \mathrm{ou} {\mathrm{r}}_1=-\frac{2·\mathrm{a}}{3} \end{gathered}$$

Para ${\mathrm{r}}_1=0$, temos $\mathrm{b}=0$, de modo que os pontos dados em (II) seriam colineares, não formando um triângulo retângulo, conforme estabelecido. Desse modo, ${\mathrm{r}}_1=-\frac{2·\mathrm{a}}{3}$.

Pelas relações de Girard, temos:

$$\begin{gathered} {\mathrm{r}}_1+{\mathrm{r}}_2+{\mathrm{r}}_3=-\mathrm{a} \\ -\frac{2·\mathrm{a}}{3}-\frac{2·\mathrm{a}}{3}+{\mathrm{r}}_3=-\mathrm{a} \\ {\mathrm{r}}_3=\frac{\mathrm{a}}{3} \end{gathered}$$

Também:

$$\begin{gathered} {\mathrm{r}}_1·{\mathrm{r}}_2·{\mathrm{r}}_3=-\mathrm{b} \\ \left(-\frac{2·\mathrm{a}}{3}\right)·\left(-\frac{2·\mathrm{a}}{3}\right)·\frac{\mathrm{a}}{3}=-\mathrm{b} \\ \mathrm{b}=-\frac{4·{\mathrm{a}}^3}{27} (*) \end{gathered}$$

Desse modo, para que o triângulo A $\left(-\frac{2·\mathrm{a}}{3},0\right); \mathrm{B} = \left(\frac{\mathrm{a}}{3},0\right); \mathrm{C} = \left(0,-\frac{4·{\mathrm{a}}^3}{27}\right)$ seja retângulo, temos que $\overline{\mathrm{AC}} \mathrm{e} \overline{\mathrm{BC}}$ devem ser perpendiculares entre si. Assim, trabalhando com os coeficientes angulares:

$$\begin{gathered} {\mathrm{m}}_{\mathrm{AC}}·{\mathrm{m}}_{\mathrm{BC}}=-1 \\ \frac{{\mathrm{y}}_{\mathrm{C}}-{\mathrm{y}}_{\mathrm{A}}}{{\mathrm{x}}_{\mathrm{C}}-{\mathrm{x}}_{\mathrm{A}}}·\frac{{\mathrm{y}}_{\mathrm{C}}-{\mathrm{y}}_{\mathrm{B}}}{{\mathrm{x}}_{\mathrm{C}}-{\mathrm{x}}_{\mathrm{B}}}=-1 \\ \frac{-{\displaystyle \frac{4·{\mathrm{a}}^3}{27}}-0}{0+{\displaystyle \frac{2·\mathrm{a}}{3}}}·\frac{-{\displaystyle \frac{4·{\mathrm{a}}^3}{27}}-0}{0-{\displaystyle \frac{\mathrm{a}}{3}}}=-1 \end{gathered}$$

Simplificando:

$$\begin{gathered} \frac{4·{\mathrm{a}}^3}{18·\mathrm{a}}·\frac{4·{\mathrm{a}}^3}{9·\mathrm{a}}=1 \\ \mathrm{a}=\pm \frac{3·\sqrt[4]{2}}{2} \end{gathered}$$

Desse modo, de (*), $\mathrm{b}=-\frac{4·{\mathrm{a}}^3}{27}$, assim, as soluções para a e b são dadas por:

$\boxed{\left(\mathrm{a}=\frac{3·\sqrt[4]{2}}{2} \mathrm{e} \mathrm{b} = -\frac{\sqrt[4]{8}}{2}\right) \mathrm{ou} \left(\mathrm{a}=-\frac{3·\sqrt[4]{2}}{2} \mathrm{e} \mathrm{b} = \frac{\sqrt[4]{8}}{2}\right)}$