Dissertação 4 - ITA - 2ª Fase Dia 1 - ITA 2025

Seja ${\mathrm{r}}_{\mathrm{a}}$ o raio da circunferência ex-inscrita pedida. Como se sabe:

${\mathrm{r}}_{\mathrm{A}}=\frac{\left[\mathrm{ABC}\right]}{\mathrm{p}-\mathrm{a}}$

Em que p é o semiperímetro e $\mathrm{a}=\overline{\mathrm{BC}}$.

Calculando a área pelo teorema de Heron:

$$\begin{gathered} \mathrm{p}=\frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}}{2}=\frac{14+6+10}{2}=15 \\ \left[\mathrm{ABC}\right]=\sqrt{\mathrm{p}\left(\mathrm{p}-\mathrm{a}\right)\left(\mathrm{p}-\mathrm{b}\right)\left(\mathrm{p}-\mathrm{c}\right)}=\sqrt{15\left(15-14\right)\left(15-10\right)\left(15-6\right)} \\ \left[\mathrm{ABC}\right]=\sqrt{15·1·5·9}=15\sqrt{3} \end{gathered}$$

Portanto:

${\mathrm{r}}_{\mathrm{A}}=\frac{15\sqrt{3}}{15-14}=\boxed{15\sqrt{3}}$