Dissertação 4 - ITA - 2ª Fase Dia 1 - ITA 2025

Poliedro Resolve Resolução - ITA 1ª Fase 2025

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Matemática
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Questão 4

Dissertativa

Seja ABC um triângulo de lados $m (\bar{A B}) = 6$ , $m (\bar{A C}) = 10$ e $m (\bar{B C}) = 14$ . Calcule o raio da circunferência externa ao triângulo ABC que tangencia simultaneamente o segmento $\bar{B C}$ e as retas suportes AB e AC.

Resolução:

Seja $r_{a}$ o raio da circunferência ex-inscrita pedida. Como se sabe:

$r_{A} = \frac{[ABC]}{p - a}$

Em que p é o semiperímetro e $a = \bar{BC}$ .

Calculando a área pelo teorema de Heron:

$p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{14 + 6 + 10}{2} = 15 [ABC] = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)} = \sqrt{15 (15 - 14) (15 - 10) (15 - 6)} [ABC] = \sqrt{15 \cdot 1 \cdot 5 \cdot 9} = 15 \sqrt{3}$

Portanto:

$r_{A} = \frac{15 \sqrt{3}}{15 - 14} = 15 \sqrt{3}$

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