Dissertativas 8 - ITA - 2ª Fase Dia 3 - ITA 2025

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Questão 8

Dissertativa

$N$ partículas ( $N > 2$ ) de massa $m$ e carga de módulo $q$ descrevem movimentos circulares uniformes de raio $R$ com a mesma velocidade angular. As partículas interagem gravitacional e eletricamente. Sabendo que todas as partículas descrevem a mesma trajetória e que apenas duas delas possuem cargas positivas, faça o que se pede nos itens a seguir.

a) Determine uma configuração para a qual a situação descrita seja fisicamente possível.

b) Calcule o módulo da força resultante em cada partícula na configuração determinada.

c) Calcule a velocidade angular de cada partícula na configuração determinada.

Resolução:

a) Tomando quatro partículas de massa m, duas de carga $+ q$ e duas de carga $- q$ , nos vértices de um quadrado de lado $R \sqrt{2}$ .

b) $F_{r} = F_{g_{2}} - F_{e_{2}} + (F_{g_{1}} + F_{e_{1}}) \cdot 2 \cdot \cos 45^{o}$ , em que:

$F_{g_{1}} = \frac{G \cdot m^{2}}{{(R \sqrt{2})}^{2}} = \frac{G \cdot m^{2}}{2 \cdot R^{2}}, F_{g_{2}} = \frac{G \cdot m^{2}}{{(2 \cdot R)}^{2}} = \frac{G \cdot m^{2}}{4 \cdot R^{2}}$

$F_{e_{1}} = \frac{k \cdot q^{2}}{{(R \sqrt{2})}^{2}} = \frac{k \cdot q^{2}}{2 \cdot R^{2}}, F_{e_{2}} = \frac{k \cdot q^{2}}{{(2 \cdot R)}^{2}} = \frac{k \cdot q^{2}}{4 \cdot R^{2}}$

com $k = \frac{1}{4 \cdot π \cdot ε_{0}}$ :

$F_{R} = \frac{G \cdot m^{2}}{2 \cdot R^{2}} \cdot (\sqrt{2} + \frac{1}{2}) + \frac{q^{2}}{8 \cdot π \cdot ε_{0} \cdot R^{2}} (\sqrt{2} - \frac{1}{2})$

c) Como $F_{R}$ é a resultante centrípeta:

$F_{R} = m \cdot ω^{2} \cdot R \Rightarrow ω^{2} = \frac{F_{R}}{m \cdot R}$

$\Rightarrow ω = {\{\frac{1}{2 \cdot m \cdot R^{3}} \cdot [G \cdot m^{2} \cdot (\sqrt{2} + \frac{1}{2}) + \frac{q^{2}}{4 \cdot π \cdot ε_{0}} (\sqrt{2} - \frac{1}{2})]\}}^{\frac{1}{2}}$

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