Dissertativas 10 - ITA - 2ª Fase Dia 3 - ITA 2025

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Física
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Questão 10

Dissertativa

Em uma câmara de alto vácuo, um feixe monoenergético de elétrons é misturado a um feixe colimado e monoenergético de íons totalmente ionizados, conforme mostra a figura. As velocidades dos elétrons e dos íons são iguais. A abertura de um detector de fótons é apontada perpendicularmente à direção dos feixes misturados. Foram feitos três experimentos a baixas energias: o primeiro com um feixe de prótons, o segundo com um feixe de hélio totalmente ionizado e o terceiro com um feixe de oxigênio totalmente ionizado. Em um quarto experimento, usando um feixe de prótons relativísticos, o detector de fótons é apontado paralelamente à direção dos feixes misturados.

Considerando essa situação experimental, determine

a) as energias máximas dos fótons em eV detectadas no primeiro, segundo e terceiro experimentos;

b) um valor aproximado para o desvio percentual da máxima energia do fóton no quarto experimento com relação à máxima energia do fóton do primeiro experimento, considerando que a energia cinética dos íons, no referencial do laboratório, era de 234,5 MeV no quarto experimento.

Resolução:

a) O fóton de máxima energia será emitido quando o íon totalmente ionizado absorver o primeiro elétron. A energia desse fóton é igual à energia de ionização desse elétron, que é dada por $13, 6 \cdot z^{2} eV$ , em que z é o número atômico do íon.

Assim,

$E_{1} = 13, 6 \cdot 1^{2} \Rightarrow E_{1} = 13, 6 eV E_{2} = 13, 6 \cdot 2^{2} \Rightarrow E_{2} = 54, 4 eV E_{3} = 13, 6 \cdot 8^{2} \Rightarrow E_{3} = 870, 4 eV$

b) Energia cinética: $E_{c} = (γ - 1) \cdot m \cdot c^{2}$

$\Rightarrow 234, 5 = (γ - 1) \cdot 938 \Rightarrow γ = \frac{5}{4}$

Como $γ = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} \Rightarrow v = \frac{3 \cdot c}{5}$

O fóton é emitido com energia $E_{1} = 13, 6 eV$ e frequência $f_{1}$ no referencial do próton. No referencial do laboratório, devido ao efeito doppler relativístico, o detetor recebe frequência $f_{1}'$ :

$f_{1}' = f_{1} \sqrt{\frac{c + v}{c - v}} = f_{1} \sqrt{\frac{c + \frac{3 \cdot c}{5}}{c - \frac{3 \cdot c}{5}}} = 2 \cdot f_{1}$

$f_{1}' = 2 \cdot f_{1}$

Como $E_{1} = h \cdot f_{1} e E_{1}' = h \cdot f_{1}' \Rightarrow E_{1}' = 2 \cdot E_{1}$

$E_{1}' = 27, 2 eV$

Assim, $\frac{E_{1}' - E_{1}}{E_{1}} = \frac{27, 2 - 13, 6}{13, 6} = 100 %$

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