Dissertativas 5 - ITA - 2ª Fase Dia 3 - ITA 2025

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Física
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Questão 5

Dissertativa

Considere um veículo lançador de nanossatélites (VLNS) de massa $M_{v}$ a uma altitude h e com velocidade $v_{0}$ , perpendicular ao raio da Terra em relação a um referencial inercial centrado na Terra. Um nanossatélite (NS) de massa m encontra-se imerso em um fluido incompressível armazenado em um tubo localizado na extremidade do VLNS, conforme a figura. O tubo possui dois diâmetros distintos: um de valor $d_{1}$ e outro de valor $d_{2} < d_{1}$ . Durante a ejeção, o NS acompanha a velocidade do fluido, que vale $v_{1}$ em $d_{1}$ , em relação ao VLNS. Considere a massa e o raio da Terra como sendo, respectivamente, $M_{T}$ e $R_{T}$ , a constante da gravitação universal como G e a massa do fluido como desprezível.
Determine

a) a velocidade de ejeção do NS, com relação ao VLNS, em termos de $v_{0}$ , $v_{1}$ , $d_{1}$ e $d_{2}$ ;
b) qual diâmetro $d_{2}$ permite que o NS entre em órbita circular.

Resolução:

a) A velocidade de ejeção $v_{e}$ será igual à velocidade do fluido na seção 2.

Equação da continuidade:

$A_{1} v_{1} = A_{2} v_{e} \Rightarrow π {(\frac{d_{1}}{2})}^{2} v_{1} = π {(\frac{d_{2}}{2})}^{2} v_{e} \Rightarrow v_{e} = v_{1} \frac{d_{1}^{2}}{d_{2}^{2}}$

Vale resaltar que $v_{e}$ é uma velocidade medida no referencial do VLNS.

No referencial do centro do planeta, sejam $v_{F}$ e $v_{F} + v_{e}$ , respectivamente, as velocidades do VLNS e do NS após a ejeção. Conservação da quantidade de movimento:

$(M_{v} + m) v_{0} = M_{v} v_{F} + m (v_{F} + v_{e}) \Rightarrow v_{F} = v_{0} - \frac{m}{M_{v} + m} v_{e} \Rightarrow v_{F} + v_{e} = v_{0} + \frac{M_{v}}{M_{v} + m} v_{e}$

O enunciado se refere a uma órbita circular concêntrica ao planeta e de raio $R_{T} + h$ . Seja $v$ a velocidade ao longo dela. Da dinâmica do movimento circular:

$F_{g} = F_{cp} \Rightarrow \frac{{GM}_{T} m}{{(R_{T} + h)}^{2}} = \frac{{mv}^{2}}{R_{T} + h} \Rightarrow v = \sqrt{\frac{{GM}_{T}}{R_{T} + h}}$

Para que o NS entre em órbita, deve-se ter $v_{F} + v_{e} = v$ :

$v_{0} + \frac{M_{v}}{M_{v} + m} v_{e} = \sqrt{\frac{{GM}_{T}}{R_{T} + h}} \Rightarrow \frac{M_{v}}{M_{v} + m} v_{e} = \frac{\sqrt{{GM}_{T}} - v_{0} \sqrt{R_{T} + h}}{\sqrt{R_{T} + h}} \Rightarrow \frac{M_{v}}{M_{v} + m} \frac{d_{1}^{2}}{d_{2}^{2}} = \frac{\sqrt{{GM}_{T}} - v_{0} \sqrt{R_{T} + h}}{\sqrt{R_{T} + h}} \Rightarrow d_{2} = \sqrt{\frac{M_{v} v_{1} d_{1}^{2} \sqrt{R_{T} + h}}{(M_{v} + m) (\sqrt{{GM}_{T}} - v_{0} \sqrt{R_{T} + h})}}$

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