Questão 1 - ITA - 1ª Fase - ITA 2025

Dado $\mathrm{z}=\mathrm{a}+2\mathrm{i}$, tem-se que ${\mathrm{z}}^2={\left(\mathrm{a}+2\mathrm{i}\right)}^2={\mathrm{a}}^2-4+4\mathrm{ai}$.

Desse modo, como o triângulo de vértices 1, z e ${\mathrm{z}}^2$ tem área 400:

$$\begin{gathered} 200=\frac{1}{2}||\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ \mathrm{a}& 2& 1\\ {\mathrm{a}}^2-4& 4\mathrm{a}& 1\end{array}|| \\ \left|2{\mathrm{a}}^2-4\mathrm{a}+10\right|=400 \end{gathered}$$

Caso 1:

$2{\mathrm{a}}^2-4\mathrm{a}+10=400$

$2{\mathrm{a}}^2-4\mathrm{a}-390=0\to \mathrm{a}=15 \mathrm{ou} \mathrm{a}=-13 (\mathrm{não} \mathrm{convém})$

Caso 2:

$2{\mathrm{a}}^2-4\mathrm{a}+10=-400$

$$\begin{gathered} 2{\mathrm{a}}^2-4\mathrm{a}+410=0 \\ ∆={\left(-4\right)}^2-4·2·410=-3264\to \mathrm{a}\notin \mathrm{ℝ} \end{gathered}$$

Desse modo, o único valor positivo de a é $\boxed{\mathrm{a}=15}$.