Dissertativas 6 - ITA - 2ª Fase Dia 3 - ITA 2025

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Questão 6

Dissertativa

Uma sonda tripulada foi projetada para resistir ao calor da atmosfera de mercúrio, que pode atingir uma temperatura $T_{0} = 430 ° C$ . A sonda tem uma estrutura semelhante à de uma casca esférica composta por duas camadas, como mostra a figura. A camada externa, de espessura $d_{1}$ , é composta por um material rígido de condutividade térmica $K_{1}$ . A camada interna, de espessura $d_{2}$ , é composta por um material termorresistente e isolante térmico de condutividade térmica $K_{2}$ . O raio externo da estrutura é igual a R.

Considerando a situação descrita acima, faça o que se pede nos itens a seguir.

a) Expresse a condutividade térmica efetiva da sonda em função de $R, K_{1}, K_{2} e d,$ em que $d = d_{1} = d_{2} e R ≫ d .$

b) Estime a potência, em kW, que um refrigerador deve ter para manter a temperatura interna da sonda em $T_{i} = 23 ° C$ , assumindo que $R$ = 20 m, $d_{1} = d_{2}$ = 30 cm, $K_{1}$ = 50 W/( $m °$ C), $K_{2}$ = 0, 020 W/( $m °$ C) e que a máquina refrigeradora tem um coeficiente de performance ideal.

Resolução:

a) Pela equação de Fourier para condutor esférico:

$ϕ = K \cdot A \frac{d T}{d r} \Rightarrow ϕ = K \cdot 4 {πr}^{2} \cdot \frac{d T}{d r} \int_{T_{1}}^{T_{2}} d T = \frac{ϕ}{4 πK} \cdot \int_{r_{1}}^{r_{2}} r^{- 2} d r T_{2} - T_{1} = \frac{ϕ}{4 πK} \cdot (\frac{1}{r_{1}} - \frac{1}{r_{2}}) ∆ T = \frac{1}{4 πK} \cdot (\frac{r_{2} - r_{1}}{r_{1} \cdot r_{2}}) \cdot ϕ$

Pelo análogo elétrico, a resistência térmica vale: $R_{t} = \frac{1}{4 πK} \cdot (\frac{r_{2} - r_{1}}{r_{1} \cdot r_{2}})$

Como $d_{1} = d_{2} = d$ , temos:

$R_{1} = \frac{1}{4 {πK}_{1}} \cdot \frac{d}{R (R - d)}, R_{2} = \frac{1}{4 {πK}_{2}} \cdot \frac{d}{(R - d) (R - 2 d)} e R_{eq} = \frac{1}{4 {πK}_{eq}} \cdot \frac{2 d}{R (R - 2 d)}$

Como temos uma associação em série:

$R_{eq} = R_{1} + R_{2} \frac{1}{4 {πK}_{eq}} \cdot \frac{2 d}{R (R - 2 d)} = \frac{1}{4 {πK}_{1}} \cdot \frac{d}{R (R - d)} + \frac{1}{4 {πK}_{2}} \cdot \frac{d}{(R - d) (R - 2 d)} \frac{1}{K_{eq}} \cdot \frac{2}{R (R - 2 d)} = \frac{1}{K_{1}} \cdot \frac{1}{R (R - d)} + \frac{1}{K_{2}} \cdot \frac{1}{(R - d) (R - 2 d)} \frac{2}{K_{eq}} = \frac{1}{K_{1}} \cdot \frac{R (R - 2 d)}{R (R - d)} + \frac{1}{K_{2}} \cdot \frac{R (R - 2 d)}{(R - d) (R - 2 d)} \frac{2}{K_{eq}} = \frac{1}{K_{1}} \cdot \frac{(R - 2 d)}{(R - d)} + \frac{1}{K_{2}} \cdot \frac{R}{(R - d)} \frac{2}{K_{eq}} = \frac{1}{(R - d)} \cdot \frac{(R - 2 d) \cdot K_{2} + R \cdot K_{1}}{K_{1} \cdot K_{2}} K_{eq} = \frac{2 \cdot (R - d) \cdot K_{1} \cdot K_{2}}{(R - 2 d) \cdot K_{2} + R \cdot K_{1}}$

Considerando R >> d: $K_{eq} = \frac{2 K_{1} \cdot K_{2}}{K_{1} + K_{2}}$

Observação: como R >> d, poderíamos fazer uma solução mais simples sem o cálculo integral e que levaria ao mesmo resultado:

Pela equação de Fourier:

$ϕ = \frac{K \cdot A \cdot ∆ T}{d} \Rightarrow ∆ T = \frac{d}{K \cdot A} \cdot ϕ$

Pelo análogo elétrico, a resistência térmica vale: $R_{t} = \frac{d}{K \cdot A}$

Logo: $R_{1} = \frac{d_{1}}{K_{1} \cdot A_{1}} e R_{2} = \frac{d_{2}}{K_{2} \cdot A_{2}}$

Como temos uma associação em série:

$R_{eq} = R_{1} + R_{2} = \frac{d_{1}}{K_{1} \cdot A_{1}} + \frac{d_{2}}{K_{2} \cdot A_{2}}$

Como $d_{1} = d_{2} = d e R ≫ d$ , temos: $A_{1} = A_{2} = 4 {πR}^{2}$

Logo: $R_{eq} = \frac{d}{4 {πR}^{2}} \cdot \frac{K_{1} + K_{2}}{K_{1} \cdot K_{2}} (i)$

Mas a resistência térmica equivalente é dada por: $R_{eq} = \frac{2 d}{K_{eq} \cdot 4 {πR}^{2}} (ii)$

De (i) e (ii):

$\frac{d}{4 {πR}^{2}} \cdot \frac{K_{1} + K_{2}}{K_{1} \cdot K_{2}} = \frac{2 d}{K_{eq} \cdot 4 {πR}^{2}} \Rightarrow K_{eq} = \frac{2 K_{1} \cdot K_{2}}{K_{1} + K_{2}}$

b) Condutividade térmica efetiva:

$K_{eq} = \frac{2 K_{1} \cdot K_{2}}{K_{1} + K_{2}} = \frac{2 \cdot 50 \cdot 0, 02}{50 + 0, 02} = \frac{2}{50, 02} \frac{W}{m} \cdot ° C$

Fluxo de calor que entra:

$ϕ = 4 {πK}_{eq} (\frac{r_{int} r_{ext}}{r_{ext} - r_{int}}) \cdot ∆ T = 4 {πK}_{eq} \cdot [\frac{R \cdot (R - 2 d)}{2 d}] \cdot ∆ T$

Considerando R >>d:

$ϕ = \frac{K_{eq} \cdot 4 {πR}^{2} \cdot ∆ T}{2 d} = \frac{2}{50, 02} \cdot \frac{4 π \cdot 20^{2} \cdot 407}{2 \cdot 0, 3}$

$ϕ = 136, 3 kW$

Para se manter a temperatura interna constante, a taxa de retirada de calor do refrigerador deve ser:

$Q_{f} = ϕ = 136, 3 kW$

Para refrigerador de Carnot (coeficiente de performance ideal):

$β = \frac{Q_{f}}{P_{refri}} = \frac{T_{f}}{T_{q} - T_{f}} \Rightarrow \frac{136, 3}{P_{refri}} = \frac{296}{407} \Rightarrow P_{refri} = 187, 4 kW$

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