Dissertativas 1 - ITA - 2ª Fase Dia 3 - ITA 2025

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Questão 1

Dissertativa

O quantum de fluxo magnético $ϕ_{0}$ pode ser definido como metade do fluxo magnético obtido a partir da combinação da constante de Planck h, da velocidade da luz c e da carga fundamental e. Considere um elétron se movendo em uma órbita circular de raio R, sob a ação de um campo magnético de modo que o fluxo magnético dentro de sua órbita é igual a $ϕ_{0 .}$ Faça o que se pede nos itens a seguir.

a) Obtenha a expressão para $ϕ_{0}$ .

b) Sabendo que a velocidade do elétron é dada por $β c (β ≪ 1),$ cálculo do raio R , em termos de h, c, $β$ e $m_{e},$ a massa do elétron.

Resolução:

a) Pode-se escrever o fluxo magnético como: $ϕ = α \cdot h^{x} \cdot c^{y} \cdot e^{z}$

Sendo $α$ uma constante adimensional.

Tem-se as dimensionais:

$[ϕ] = [B] \cdot [A] = \frac{[F]}{[i] \cdot [L]} \cdot [A] = \frac{M \cdot L \cdot T^{- 2}}{I \cdot L} \cdot L^{2} = M \cdot L^{2} \cdot T^{- 2} \cdot I^{- 1} [h] = \frac{[E]}{[f]} = \frac{M \cdot L^{2} \cdot T^{- 2}}{T^{- 1}} = M \cdot L^{2} \cdot T^{- 1} [c] = L \cdot T^{- 1} [e] = T \cdot I$

Pela homogeneidade dimensional:

$[ϕ] = [α] \cdot {[h]}^{x} \cdot {[c]}^{y} \cdot {[e]}^{z} M \cdot L^{2} T^{- 2} \cdot I^{- 1} = 1 \cdot {(M \cdot L^{2} \cdot T^{- 1})}^{x} \cdot {(L \cdot T^{- 1})}^{y} \cdot {(T \cdot I)}^{z} M \cdot L^{2} \cdot T^{- 2} \cdot I^{- 1} = M^{x} \cdot L^{2 x + y} \cdot T^{- x - y + z} \cdot I^{z} \{\begin{cases} x = 1 \\ 2 x + y = 2 \\ - x - y + z = - 2 \\ z = - 1 \end{cases} (x, y, z) = (1, 0, - 1)$

Logo: $ϕ = α \cdot \frac{h}{e}$

Considera-se $α = 1 \Rightarrow ϕ = \frac{h}{e}$

Portanto, $ϕ_{0} = \frac{ϕ}{2} \Rightarrow ϕ_{0} = = \frac{h}{2 e}$

b) O fluxo magnético dentro da órbita do elétron é:

$ϕ_{0} = B \cdot {πR}^{2} = \frac{h}{2 e} \Rightarrow B = \frac{h}{2 e \cdot {πR}^{2}}$

A força magnética é a responsável por manter o elétron na órbita:

$F_{m} = e \cdot v \cdot B = \frac{m_{e} \cdot V^{2}}{R} \Rightarrow R = \frac{m_{e} \cdot V}{e \cdot B} R = \frac{m_{e} \cdot β \cdot c}{e \cdot \frac{h}{2 e \cdot {πR}^{2}}} \Rightarrow R = \frac{h}{2 {πm}_{e} βc}$

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