Dissertação 5 - ITA - 2ª Fase Dia 1 - ITA 2025

Solução 1:

Seja $\mathrm{n}=3^{100}$. Utilizando os logaritmos fornecidos:

$\log \mathrm{n}=\log \left(3^{100}\right)\Rightarrow \log \mathrm{n}=100·\log 3\Rightarrow \log \mathrm{n}=47,71\Rightarrow \mathrm{n}={10}^{0,71}·{10}^{47}$

Como $1<{10}^{0,71}<10$, o primeiro algarismo de n será tal que $\mathrm{alg}=⌊{10}^{0,71}⌋$.

No entanto, note que:

$\left\{\begin{array}{l}\log 5=1-\log 2=0,699\\ \log 6=\log 2+\log 3=0,7781 \Rightarrow 5<{10}^{0,71}<6\\ \log {10}^{0,71}=0,71\end{array}\right.$

Portanto: $\boxed{\mathrm{alg}=5}$.

 

Solução 2:

Primeiramente, vamos calcular o número de algarismos de $3^{100}$.

O número de algarismos de um inteiro positivo n é dado por $⌊\log \mathrm{n}⌋+1$, em que $⌊\mathrm{x}⌋$ é a função parte inteira de x (note que $⌊x⌋$ é igual ao maior inteiro que não supera x).

Assim, o número de algarismos de  $3^{100}$ é dado por

$⌊\log \mathrm{n}⌋+1=⌊100 · \log 3⌋+1=⌊100 · 0,4771⌋+1=⌊47,771⌋+1=47+1=48$

Assim, $3^{100}$ é um inteiro de 48 algarismos. 

Note que o primeiro algarismo da representação decimal de $3^{100}$ é dado pelo quociente q da divisão (no universo dos naturais) de $3^{100}$ por ${10}^{47}$. Este quociente q é dado por: 

$\mathrm{q}=⌊\frac{3^{100}}{{10}^{47}}⌋$(*)

Seja, $\frac{3^{100}}{{10}^{47}}=\mathrm{k}.$ Assim:

$$\begin{gathered} \log \mathrm{k} = \log \left(\frac{3^{100}}{{10}^{47}}\right) \\ \log \mathrm{k} = \log \left(3^{100}\right)-\log \left({10}^{47}\right) \\ \log \mathrm{k} = 47,71-47 \\ \log \mathrm{k}=0,71 \end{gathered}$$

Note, pelas informações dadas, que:

• $\log 5 = \log \left(\frac{10}{2}\right)=\log 10 - \log 2=1-0,3010=0,699$
• $\log 6 = \log 2 + \log 3 = 0,3010 + 0,4771 = 0,7781$

Desse modo,

$\log 5 = 0,699 < 0,71 = \log \mathrm{k} < 0,778 = \log 6$

Assim,

$5<\mathrm{k}<6\to 5<\frac{3^{100}}{{10}^{47}}<6$

Assim, de (*):

$\mathrm{q}=⌊\frac{3^{100}}{{10}^{47}}⌋=5$

Portanto, o primeiro algarismo de  $3^{100}$ é igual a 5.