Dissertação 3 - ITA - 2ª Fase Dia 1 - ITA 2025

Poliedro Resolve Resolução - ITA 1ª Fase 2025

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Questão 3

Dissertativa

Sejam $α, β \in [\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}]$ tais que

$sen (α) - sen (β) = \frac{1}{4}$ e $sen (α) - 2 sen (β) + \cos (β) = \frac{3}{4}$ .

Calcule o valor de $sen (α + β)$ .

Resolução:

$α, β \in [\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}] \Rightarrow \cos α < 0 e \cos β < 0$

Do sistema: $\{\begin{cases} sen α - sen β = \frac{1}{4} (i) \\ sen α - 2 sen β + \cos β = \frac{3}{4} (ii) \end{cases}$

Fazendo (i) $-$ (ii): $sen β - \cos β = - \frac{1}{2} \Rightarrow 1 - 2 sen β \cdot \cos β = \frac{1}{4} \Rightarrow 2 sen β \cdot \cos β = \frac{3}{4}$ .

Ou seja, $sen β < 0$ .

Fazendo 2(i) $-$ (ii): $sen α - \cos β = - \frac{1}{4} \Rightarrow sen α < 0$ .

Fazendo 3(i) $-$ (ii):

$2 sen α - sen β - \cos β = 0 \Rightarrow 2 sen α = sen β + \cos β \Rightarrow 4 {sen}^{2} α = 1 + 2 sen β \cdot \cos β = \frac{7}{4}$

Portanto, $sen α = - \frac{\sqrt{7}}{4} e \cos α = - \frac{3}{4}$ .

Por fim, tem-se:

$\{\begin{cases} sen β - \cos β = - \frac{1}{2} \\ sen β + \cos β = - \frac{\sqrt{7}}{2} \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} sen β = - \frac{1}{4} (\sqrt{7} + 1) \\ \cos β = \frac{1}{4} (- \sqrt{7} + 1) \end{cases}$

Logo:

$sen (α + β) = - (\frac{\sqrt{7}}{4}) \cdot (\frac{(- \sqrt{7} + 1)}{4}) + (- \frac{3}{4}) \cdot (- \frac{1}{4}) \cdot (\sqrt{7} + 1) = = \frac{1}{16} (7 - \sqrt{7} + 3 \sqrt{7} + 3) = \frac{2 \sqrt{7} + 10}{16} \Rightarrow sen (α + β) = \frac{\sqrt{7} + 5}{8}$

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