Dissertação 7 - IME - 2ª Fase Dia 2 - IME 2025

Poliedro Resolve - Resolução IME 1ª Fase 2025

Poliedro Resolve Resolução - IME 2ª Fase Dia 1 - 2025

Poliedro Resolve Resolução - IME 2ª Fase Dia 2 - 2025

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Gabarito

Física
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7. 7DIS
8. 8DIS
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Questão 7

Dissertativa

Uma onda de luz plana e monocromática propaga-se no vácuo e incide quase perpendicularmente sobre uma película depositada sobre uma placa de vidro. As ondas refletidas pela película e pelo vidro sofrem interferência completamente destrutiva ao retornarem ao vácuo para três valores de comprimento de onda da luz incidente, sendo dois deles conhecidos.

Dados:

1º comprimento de onda no vácuo conhecido para a ocorrência de interferência destrutiva: $λ_{1}$ ;
2º comprimento de onda no vácuo conhecido para a ocorrência de interferência destrutiva: $λ_{2}$ ;
$λ_{1} > λ_{2}$ ;
índice de refração da película: $n$ ;
índice de refração do vidro: $n'$ ;
$n' > n$ .

Observações:

o ângulo de incidência pode não corresponder ao da figura meramente ilustrativa;
o valor do 3º comprimento de onda no vácuo para a ocorrência de interferência destrutiva está entre $λ_{1}$ e $λ_{2}$ .

Determine:

a) a espessura $h$ da película, indicada na figura, em função dos dados acima listados;
b) o valor do terceiro comprimento de onda para interferência destrutiva;
c) os valores de comprimento de onda no vácuo para o caso de haver interferência construtiva.

Resolução:

Resolução:

Para incidência praticamente normal, a diferença de caminho óptico é dada por:

$Δd = 2 nh$

Como $n > 1$ e $n' > n$ , ocorre inversão de fase em ambas as reflexões. Assim, para interferência destrutiva:

$Δd = n_{i} \cdot \frac{λ}{2}$ , em que $n_{i}$ é um número ímpar.

$\Rightarrow 2 nh = n_{i} \cdot \frac{λ}{2} \Rightarrow λ = \frac{4 nh}{n_{1}}$

Assim: $λ_{1} = \frac{4 nh}{n_{i}}, λ_{3} = \frac{4 nh}{n_{i} + 2}, λ_{2} = \frac{4 nh}{n_{i} + 4}$

$n_{i} + 4 = \frac{4 nh}{λ_{2}}, n_{i} = \frac{4 nh}{λ_{1}} \Rightarrow 4 = 4 nh (\frac{1}{λ_{2}} - \frac{1}{λ_{1}}) \Rightarrow 1 = nh \frac{(λ_{1} - λ_{2})}{λ_{1} λ_{2}} \Rightarrow h = \frac{λ_{1} λ_{2}}{n (λ_{1} - λ_{2})}$

$n_{i} + 2 = \frac{4 nh}{λ_{3}} \Rightarrow \frac{4 nh}{λ_{1}} + 2 = \frac{4 nh}{λ_{3}} \Rightarrow 2 = 4 nh (\frac{1}{λ_{3}} - \frac{1}{λ_{1}}) \Rightarrow 1 = 2 \cdot \frac{(λ_{1} λ_{2})}{λ_{1} - λ_{2}} \cdot \frac{(λ_{1} - λ_{3})}{λ_{1} λ_{3}} \Rightarrow λ_{3} (λ_{1} - λ_{2}) = 2 λ_{2} (λ_{1} - λ_{3}) \Rightarrow λ_{1} λ_{3} - λ_{2} λ_{3} = 2 λ_{1} λ_{2} - 2 λ_{2} λ_{3} \Rightarrow λ_{3} (λ_{1} + λ_{2}) = 2 λ_{1} λ_{2} \Rightarrow λ_{3} = \frac{2 λ_{1} λ_{2}}{λ_{1} + λ_{2}}$

c) Para interferência construtiva: $Δd = k \cdot λ, k \in ℤ^{*}$

$\Rightarrow 2 nh = k \cdot λ \Rightarrow 2 \cdot \frac{λ_{1} λ_{2}}{λ_{1} - λ_{2}} = k \cdot λ \Rightarrow λ = \frac{2 λ_{1} λ_{2}}{λ_{1} - λ_{2}} \cdot \frac{1}{k}, k \in ℤ^{*}$

Observação: para que ocorra interferência destrutiva, cada comprimento de onda deve estar associado a um número ímpar. No entanto, apesar de o enunciado dizer que $λ_{1} > λ_{3} > λ_{2}$ , não fica claro se esses comprimentos de onda estão associados a números ímpares consecutivos. Toda a resolução apresentada foi construída levando isso em conta, porém, caso essa consideração não fosse feita, não haveria como relacionar os comprimentos de onda, o que impossibilitaria a resolução da questão.

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