Dissertação 5 - IME - 2ª Fase Dia 2 - IME 2025

Poliedro Resolve - Resolução IME 1ª Fase 2025

Poliedro Resolve Resolução - IME 2ª Fase Dia 1 - 2025

Poliedro Resolve Resolução - IME 2ª Fase Dia 2 - 2025

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Gabarito

Física
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Questão 5

Dissertativa

A figura mostra um esquema contendo um par de fios infinitos dobrados com ângulos retos e duas partículas. Uma mola comprimida impulsiona a partícula maior até que se choque de forma perfeitamente inelástica com a outra partícula menor, carregada eletricamente e inicialmente em repouso.

Dados:

massa da partícula maior: M;
massa da partícula menor: m;
carga da partícula menor: +q;
posição inicial da partícual menor: (-d, 0, 0);
corrente elétrica em cada fio: i;
energia potencial da mola transferida para a partícula maior: $E_{p}$ ;
permeabilidade magnética do meio: $μ_{0}$ .

Observações:

a mola e todos os segmentos dos fios são paralelos aos eixos indicados;
após o choque, as partículas permanecem unidas;
os dois fios estão muito próximos, mas não se encostam;
a partícula maior desprende-se da mola ao atingir a maior energia cinética;
para efeito de cálculo de campo magnético, considere que um fio semi-infinito contribua com a metade do valor do campo produzido por um fio infinito na posição (−d, 0, 0), exceto quando o prolongamento do fio semi-infinito passa pela posição em questão (contribuição nula).

A partir dos dados acima, no instante imediatamente após o choque, determine:

a) o vetor velocidade das partículas;
b) o vetor campo magnético produzido pelo conjunto dos dois fios na posição do choque;
c) o vetor força magnética que age sobre as partículas unidas;
d) o raio de giração do movimento das partículas unidas.

Resolução:

Resolução:

a) Antes do choque: $E_{p} = \frac{{Mv}^{2}}{2}$

$\Rightarrow v = \sqrt{\frac{2 E_{p}}{M}}$

Colisão inelástica: $Mv = (M + m) u$

$\Rightarrow u = \sqrt{\frac{2 E_{p}}{M}} \cdot (\frac{M}{M + m}) \Rightarrow \vec{u} = (\sqrt{\frac{2 E_{p}}{M}} \cdot (\frac{M}{M + m}), 0, 0)$

b) $\vec{B} = (0, \frac{B_{0}}{2}, - B_{0})$ em que $B_{0} = \frac{μ_{0} \cdot i}{2 πd}$

$\Rightarrow \vec{B} = \frac{μ_{o} \cdot i}{4 πd} (0, 1, - 2)$

c) ${\vec{F}}_{m} = q \vec{u} \times \vec{B}$ com $\vec{u} = (u, 0, 0)$

$\Rightarrow {\vec{F}}_{m} = q \cdot u \cdot \frac{μ_{0} \cdot i}{4 πd} (1, 0, 0) \times (0, 1, - 2)$

Como $(1, 0, 0) \times (0, 1, - 2) = (0, 2, 1)$ , então:

$\Rightarrow {\vec{F}}_{m} = \frac{μ_{0} \cdot i}{4 πd} \cdot q \cdot (\frac{M}{M + m}) (0, 2, 1)$

d) Como ${\vec{F}}_{m}$ atua como resultante centrípeta:

$R = \frac{(M + m) u}{q \cdot B} \Rightarrow R = \frac{M}{q} \cdot \sqrt{\frac{2 E_{p}}{M}} \cdot \frac{4 πd}{μ_{0} i} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}}$

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