Dissertação 3 - IME - 2ª Fase Dia 2 - IME 2025

Poliedro Resolve - Resolução IME 1ª Fase 2025

Poliedro Resolve Resolução - IME 2ª Fase Dia 1 - 2025

Poliedro Resolve Resolução - IME 2ª Fase Dia 2 - 2025

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Gabarito

Física
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Questão 3

Dissertativa

Uma lente convergente está posicionada num plano horizontal e possui, presa a seu centro, um pêndulo composto por um fio ideal e uma partícula de massa m. O movimento da partícula provoca uma oscilação na posição de sua imagem gerada pela lente.

Dados:

distância focal da lente: 30 cm;
amplitude horizontal do movimento pendular da partícula: 4 cm;
amplitude do movimento da imagem da partícula: 12 cm;
massa da partícula: 1 kg;
aceleração da gravidade: g = 10 $m / s ²$ ;
$π$ ≈ 3.

Observação:

a amplitude do movimento pendular da partícula é pequena a ponto de podermos aproximar sua trajetória a um segmento de reta.

A partir dos dados acima, determine os valores aproximados para:

a) o comprimento do fio;

b) o período de oscilação do pêndulo;

c) a máxima energia cinética atingida pela partícula.

Resolução:

Resolução:

a) Sejam y = 4 cm e y' = 12 cm (em módulo):

$A = \pm \frac{y'}{y} = \pm \frac{12}{4} = \pm 3$

Existe a possibilidade de a imagem ser real ou virtual com ampliação igual a 3.

Para A = -3 (imagem real):

$A = \frac{f}{f - p} \Rightarrow - 3 = \frac{30}{30 - p} \Rightarrow p = 40 cm \Rightarrow L_{1} = 40 cm$

Para A = +3 (imagem virtual):

$A = \frac{f}{f - p} \Rightarrow + 3 = \frac{30}{30 - p} \Rightarrow p = 20 cm \Rightarrow L_{2} = 20 cm$

Observação:

Para $L_{1} = 40 cm$ : ${tgθ}_{1} = \frac{y_{1}}{L_{1}} = \frac{4}{40} = 0, 1 \Rightarrow θ_{1} = 5, 7 °$

Para $L_{2} = 20 cm$ : ${tgθ}_{2} = \frac{y_{2}}{L_{2}} = \frac{4}{20} = 0, 2 \Rightarrow θ_{2} = 11, 3 °$

Ambos os ângulos são pequenos a ponto de a trajetória tender a uma reta.

Para $L_{1} = 40 cm$ : $T_{1} = 2 π \sqrt{\frac{L_{1}}{g}} = 2 \cdot 3 \sqrt{\frac{0, 4}{10}} \Rightarrow T_{1} = 1, 2 s$

Para $L_{2} = 20 cm$ : $T_{2} = 2 π \sqrt{\frac{L_{2}}{g}} = 2 \cdot 3 \sqrt{\frac{0, 2}{10}} \Rightarrow T_{2} = 0, 85 s$

c) A máxima energia cinética é dada por:

$E_{cin, \max} = \frac{1}{2} \cdot K \cdot y_{\max}^{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{mg}{L} \cdot y_{\max}^{2}$

Para $L_{1} = 40 cm$ : $E_{cin, \max_{1}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{mg}{L_{1}} \cdot y_{\max}^{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1 \cdot 10}{0, 4} \cdot 0, 04^{2} \Rightarrow E_{cin, \max_{1}} = 0, 02 J$

Para $L_{2} = 20 cm$ : $E_{cin, \max_{2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{mg}{L_{2}} \cdot y_{\max}^{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1 \cdot 10}{0, 2} \cdot 0, 04^{2} \Rightarrow E_{cin, \max_{2}} = 0, 04 J$

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