Dissertação 10 - IME - 2ª Fase Dia 2 - IME 2025

Poliedro Resolve - Resolução IME 1ª Fase 2025

Poliedro Resolve Resolução - IME 2ª Fase Dia 1 - 2025

Poliedro Resolve Resolução - IME 2ª Fase Dia 2 - 2025

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Física
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Questão 10

Dissertativa

A figura mostra uma partícula de massa m eletricamente carregada com carga +q que realiza um movimento circular uniforme. Na reta normal ao plano da trajetória da partícula, passando pelo seu centro, está fixada outra partícula a uma altura h, de carga $- Q$ . Ambas as partículas são unidas por uma haste.

Dados:

massa da partícula: m = 1,25 kg;
carga da partícula em movimento: q = 200 $μ C$ ;
carga da partícula fixa: −Q = –500 $μ C$ ;
altura da partícula fixa: h = 3 m;
constante elétrica do meio: $9 \times 10^{9} C^{- 2} m^{2} N$ ;
aceleração da gravidade: $10 m / s^{2}$ .

Observação:

durante o movimento, a haste que une as duas partículas está com tensão/compressão nula.

A partir dos dados listados, determine:

a) o ângulo resultante entre a haste e a normal ao plano da trajetória;
b) a velocidade angular da partícula em movimento.

Resolução:

Resolução:

Segundo a figura, o comprimento da haste é:

$L = \frac{h}{\cos θ}$

Assim, o módulo da força elétrica entre as cargas é:

$F_{e} = \frac{kQq}{L^{2}} = \frac{kQq}{h^{2}} \cos^{2} θ (I)$

Analisando as forças que atuam na vertical e horizontal:

$\{\begin{cases} mg = F_{e} cosθ (II) \\ {mω}^{2} R = F_{e} sen θ (III) \end{cases}$

a) Combinando as expressões I e II:

$mg = \frac{kQq}{h^{2}} \cos^{3} θ \Rightarrow \cos^{3} θ = \frac{{mgh}^{2}}{kQq}$

Pelos valores do enunciado:

$\cos^{3} θ = \frac{1, 25 \cdot 10 \cdot 3^{2}}{9 \cdot 10^{9} \cdot 5 \cdot 10^{- 4} \cdot 2 \cdot 10^{- 4}} = \frac{\frac{5}{4} \cdot 10 \cdot 9}{9 \cdot 10^{2}} \Rightarrow \Rightarrow \cos^{3} θ = \frac{5}{40} = \frac{1}{8} \Rightarrow cosθ = \frac{1}{2} \Rightarrow θ = 60 °$

b) Dividindo a expressão III pela expressão II:

$\frac{{mω}^{2} R}{mg} = tgθ \Rightarrow \frac{ω^{2}}{g} R = tg θ$

Fazendo $R = h . t g θ$ :

$\frac{ω^{2}}{g} htg θ = tg θ \Rightarrow ω = \sqrt{\frac{g}{h}} \Rightarrow ω = \frac{\sqrt{30}}{3} rad / s$

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