Questão 43 - 1ª Fase - Einstein 2025

O ponto P é a interseção entre as retas r: $\mathrm{y}=-\frac{5}{2}\mathrm{x} + 12$ e s: y = x + 5, assim

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=-\frac{5}{2}\mathrm{x} + 12\\ \mathrm{y}=\mathrm{x} + 5\end{array}\right.\Rightarrow -\frac{5}{2}\mathrm{x} + 12 = \mathrm{x} + 15 \Rightarrow 12 - 5 = \mathrm{x} + \frac{5}{2}\mathrm{x} \Rightarrow 7 = \frac{7\mathrm{x}}{2} \Rightarrow \mathrm{x} = 2$

Substituindo x = 2 em qualquer uma destas equações, conclui-se que y = 0. Logo, P (2, 7).

O ponto R é a interseção da reta r com o eixo x, ou seja, fazendo y = 0 na equação da reta r: $\mathrm{y}=-\frac{5}{2}\mathrm{x} + 12$, conclui-se que $\frac{5\mathrm{x}}{2} = 12 \Rightarrow \mathrm{x} = \frac{24}{5}$. Logo, R = $\left(\frac{24}{5}, 0\right)$.

O ponto S é a interseção da reta s com o eixo y, ou seja, fazendo x = 0 na equação da reta s: y = x + 5, conclui-se que y = 5. Logo, S = (0, 5).

A área A do triângulo de vértices PRS é dada por $\mathrm{A}=\frac{\left|\mathrm{D}\right|}{2}$, em que

$\mathrm{D} = \det \left(\begin{array}{ccc}2& 7& 1\\ \frac{24}{5}& 0& 1\\ 0& 5& 1\end{array}\right) = 24 - 10 - \frac{168}{5} = -\frac{98}{5}$.

Portanto, $\mathrm{A} = \frac{\left|-{\displaystyle \frac{98}{5}}\right|}{2} = \frac{98}{10} = \boxed{\frac{49}{5}}.$