Questão 47 - 1ª Fase - Einstein 2025

Pela figura, para se descobrir a medida do lado do quadrado PQRS, basta encontrar a medida da diagonal PT de um hexágono e, depois,multiplicar por 3, já que PT = TU = UQ, conforme a figura a seguir:

Como os hexágonos são regulares, todos os seus ângulos internos têm a mesma medida $\mathrm{\theta }$.

A soma dos ângulos internos de um hexágono é ${\mathrm{S}}_6=\left(6-2\right)·180°=4·180°=720°$. Assim, cada ângulo interno tem medida $\mathrm{\theta }=\frac{720°}{6}=120°$.

Um hexágono regular de lado de medida $\mathcal{l}$ é dividido em 6 triângulos equiláteros cujas medidas dos lados também é $\mathcal{l}$.

           

Como a área de cada triângulo equilátero é dada por $\frac{{\mathcal{l}}^2\sqrt{3}}{4}$, a área do hexágono é $6·\frac{{\mathcal{l}}^2\sqrt{3}}{4}$.

Como cada hexágono tem área igual a 1, conclui-se que:

$6·\frac{{\mathcal{l}}^2\sqrt{3}}{4}=1\Rightarrow {\mathcal{l}}^2\sqrt{3}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\Rightarrow {\mathcal{l}}^2=\frac{2}{3\sqrt{3}}·\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\Rightarrow {\mathcal{l}}^2=\frac{2\sqrt{3}}{9}$

Pela lei dos cossenos, sabe-se que:

$$\begin{gathered} {\mathrm{d}}^2={\mathcal{l}}^2+{\mathcal{l}}^2-2·\mathcal{l}·\mathcal{l}·\cos \mathrm{\theta }\Rightarrow {\mathrm{d}}^2=2{\mathcal{l}}^2-2{\mathcal{l}}^2·\cos 120° \\ {\mathrm{d}}^2=2{\mathcal{l}}^2-2{\mathcal{l}}^2·\left(-\frac{1}{2}\right)\Rightarrow {\mathrm{d}}^2=2{\mathcal{l}}^2+{\mathcal{l}}^2\Rightarrow {\mathrm{d}}^2=3{\mathcal{l}}^2\Rightarrow \\ \Rightarrow {\mathrm{d}}^2=3·\frac{2\sqrt{3}}{9}\Rightarrow {\mathrm{d}}^2=\frac{2\sqrt{3}}{3} \end{gathered}$$

Logo, a medida do lado do quadrado PQRS é 3d e, portanto, sua área A é dada por:

$\mathrm{A}={\left(3\mathrm{d}\right)}^2=9{\mathrm{d}}^2=9·\frac{2\sqrt{3}}{3}=\boxed{6\sqrt{3} {\mathrm{cm}}^2}$