Dissertativas 23 - 2ª Fase - Dia 1 - Unesp 2025

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Questão 23

Dissertativa

O centro do círculo branco indicado na figura divide a altura relativa à base $BC$ do triângulo isósceles ABC, com AB=AC, em dois segmentos de reta: um de 5 cm e outro de 3 cm. Na figura há, ainda, um setor circular de centro A e arco $\overset{⏜}{BC}$ .

a) Calcule o perímetro do triângulo ABC, que circunscreve o círculo branco.

b) Adotando sen 53,13º = 0,8 e $π$ = 3,14, calcule, em ${cm}^{2}$ , a melhor aproximação inteira da medida da área da região indicada em amarelo na figura.

Resolução:

Do enunciado, AO = 5 cm e OH = 3 cm. Como OH é raio, OD = OH = 3 cm. Note que o triângulo AOD é retângulo, com um cateto igual a 3 cm e hipotenusa igual a 5 cm. Logo, AD = 4 cm (pelo teorema de Pitágoras ou lembrando da terna pitagórica).

Percebe-se que $H \hat{A} C = D \hat{A} O$ e que $\hat{D} = \hat{H} = 90 °$ . Logo, os triângulos HAC e DAO são semelhantes. Como AH = 8 cm e AD = 4 cm, a razão de semelhança é 2:1. Portanto, HC = 6 cm e AC = 10 cm. Pela simetria da figura, AC = AB e HC = HB. Logo, o perímetro P do triângulo ABC é:

$P = 10 + 10 + 12 = 32 cm$

b. Note que sen 53,13° = 0,8 = $\frac{AH}{AC}$ . Logo, $A \hat{C} B = A \hat{B} C = 53, 13 °$ e $B \hat{A} C = 73, 74 °$ .

A área desejada A equivale à área do setor $A_{s}$ menos a área do círculo $A_{c}$ :

$A = A_{s} - A_{c} A = \frac{α}{360} {πR}^{2} - {πr}^{2} A = \frac{73, 74}{360} \cdot 3, 14 \cdot 10^{2} - 3, 14 \cdot 3^{2} A = 36, 0576 ≅ 36 {cm}^{2}$

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