Dissertativa 24 - Matemática - ITA 2009

Suponha que a equação algébrica

$x^{11}+\sum _{n=1}^{10}{a}_n{x}^n+a_0=0$

tenha coeficientes reais $a_0, a_1, ..., a_{10}$ tais que as suas onze raízes sejam todas simples e da forma $\beta +i{\gamma }_n$, em que $\beta , {\gamma }_n\in \mathrm{ℝ}$ e os ${\gamma }_n, n=1, 2, ..., 11$ formam uma progressão aritmética de razão real $\gamma \ne 0$. Considere as três afirmações abaixo e responda se cada uma delas é, respectivamente, verdadeira ou falsa, justificando sua resposta: 

1. Se $\beta =0$, então $a_0=0$.
2. Se $a_{10}=0$, então $\beta =0$.
3. Se $\beta =0$, então $a_1=0$.