Questão 1 - Matemática - ITA 2003

Seja $z\in \mathrm{ℂ}.$Das seguintes afirmações independentes:

I. Se $\mathrm{\omega }=\frac{2{\mathrm{iz}}^2+5\overline{\mathrm{z}}-\mathrm{i}}{1+3{\overline{\mathrm{z}}}^2+2\mathrm{iz}+3{\left|\mathrm{z}\right|}^2+2\left|\mathrm{z}\right|}, \mathrm{então} \overline{\mathrm{\omega }}=\frac{-2{\overline{\mathrm{iz}}}^2+5\mathrm{z}+\mathrm{i}}{1+3{\mathrm{z}}^2-2\overline{\mathrm{iz}}+3{\left|\overline{\mathrm{z}}\right|}^2+2\left|\mathrm{z}\right|}.$

II. Se $\mathrm{z}\ne 0 \mathrm{e} \mathrm{\omega }=\frac{2\mathrm{iz}+3\mathrm{i}+3}{\left(1+2\mathrm{i}\right)\mathrm{z}}, \mathrm{então} \left|\mathrm{\omega }\right|\le \frac{2\left|\mathrm{z}\right|+3\sqrt{2}}{\sqrt{5}\left|\mathrm{z}\right|}.$

III. Se $\mathrm{\omega }=\frac{\left(1+\mathrm{i}\right){\mathrm{z}}^2}{4\sqrt{3}+4\mathrm{i},}, \mathrm{então} 2\arg \mathrm{z}+\frac{\mathrm{\pi }}{12} \mathrm{é} \mathrm{um} \mathrm{argumento} \mathrm{de} \mathrm{\omega }.$

é(são) verdadeira(s):