Dissertativa 23 - Matemática - ITA 2003

Considere a seguinte situação baseada num dos paradoxos de Zenão de Eléia, filósofo grego do século V A.C. Suponha que o atleta Aquiles e uma tartaruga apostam uma corrida em linha reta, correndo com velocidades constantes ${\mathrm{v}}_{\mathrm{A}}$ e $v_T$, com 0 < $v_T$ < ${\mathrm{v}}_{\mathrm{A}}$. Como a tartaruga é mais lenta, é-lhe dada uma vantagem inicial, de modo a começar a corrida no instante t = 0 a uma distância $d_1$ > 0 na frente de Aquiles. Calcule os tempos $t_1,t_2,t_3, ...$que Aquiles precisa para percorrer as distâncias $d_1,d_2,d_3,...,$ respectivamente, sendo que, para todo $\mathrm{n}\ge 2, {\mathrm{d}}_{\mathrm{n}}$ denota a distância entre a tartaruga e Aquiles no instante $\sum _{k=1}^{n-1}{t}_k$ da corrida. Verifique que os termos ${\mathrm{t}}_{\mathrm{k}}$, k = 1, 2, 3, …, formam uma progressão geométrica infinita, determine sua soma e dê o significado desta soma.