Dissertativa 8 - 2ª Fase - Dia 1 - IME 2027

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Questão 8

Dissertativa

Sejam $n \in ℕ$ e $α \in ℝ$ tais que

$s e n α \neq 0$ e $\cos (j α) \neq 0$ , $j = 1, 2, . . ., n + 1$

Mostre a identidade

$S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{\cos α + \cos (2 k + 1) α} = \frac{s e n (n α)}{s e n (2 α) \cos ((n + 1) α)}$

Resolução:

Desenvolvendo a expressão do termo genérico do somatório por prostaférese, temos:

$\frac{1}{\cos α + \cos (2 k + 1) α} = \frac{1}{2 \cos ((k + 1) α) . \cos (k α)}$

Assim:

S_{n} = \frac{1}{2 \cos 2 α . \cos α} + \frac{1}{2 \cos 3 α . \cos 2 α} + \frac{1}{2 \cos 4 α . \cos 3 α} + \dots + \frac{1}{2 \cos ((n + 1) α) . \cos (n α)}

Multiplicando ambos os lados por  $sen α$ :

 $sen α . S_{n} = \frac{sen α}{2 \cos 2 α . \cos α} + \frac{sen α}{2 \cos 3 α . \cos 2 α} + \frac{sen α}{2 \cos 4 α . \cos 3 α} + \dots + \frac{sen α}{2 \cos ((n + 1) α) . \cos (n α)}$

Considere a identidade:

 $tg x - tg y = \frac{sen (x - y)}{\cos x . \cos y}$

Temos, então:

 $sen α . S_{n} = \frac{1}{2} ((tg 2 α - tg α) + (tg 3 α - tg 2 α) + (tg 4 α - tg 3 α) + \dots + (tg ((n + 1) α) - tg (n α)))$

Somando as parcelas:

 $sen α . S_{n} = \frac{1}{2} (tg ((n + 1) α) - tg α)$

Da mesma identidade utilizada anteriormente:

 $sen α . S_{n} = \frac{1}{2} . \frac{sen (n α)}{\cos ((n + 1) α) . \cos α}$

 $S_{n} = \frac{sen (n α)}{2 sen α \cos α . \cos ((n + 1) α)}$

Da identidade $sen (2 α) = 2 sen α \cos α$ , temos:

 $S_{n} = \frac{sen (n α)}{sen (2 α) . \cos ((n + 1) α)}$

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