Dissertativa 7 - 2ª Fase - Dia 1 - IME 2027

Considere $m$ e $n$ inteiros positivos, com $m>n$. Sejam $\mathrm{A}={\left[a_{ij}\right]}_{3\times \left(n+2\right)}$ e $\mathrm{B}={\left[b_{ij}\right]}_{\left(n+2\right)\times 3}$ matrizes cujas entradas são dadas, respectivamente, pelas combinações

$a_{1j}=\left(\begin{array}{c}m\\ j-3\end{array}\right), a_{2j}=\left(\begin{array}{c}m\\ j-2\end{array}\right), a_{3j}=\left(\begin{array}{c}m\\ j-1\end{array}\right)$

com $1\le j\le n+2$ e

$b_{i1}=b_{i2}=\left(\begin{array}{c}n\\ n+2-i\end{array}\right), b_{i3}=\left(\begin{array}{c}n+1\\ n+2-i\end{array}\right)$,

para $1\le i\le n+2$. Em que, 

$\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)=\frac{a!}{b!\left(a-b\right)!}$

para $a$ e $b$ inteiros não-negativos, com $b\le a$ e

$\left(\begin{array}{c}a\\ c\end{array}\right)=0$

para $c<0$ ou $c>a$

Usando as propriedades relacionadas a combinações, mostre que, para $m=2^{10}$ e $n={10}^3$, o traço de $\mathbf{A}·\mathbf{B}$ é divisível por $1013$.