Dissertativa 9 - 2ª Fase - Dia 1 - ITA 2027

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Questão 9

Dissertativa

Considere uma pirâmide reta cuja base é um hexágono regular de lado 4. As faces laterais dessa pirâmide são triângulos isósceles cujo ângulo do vértice superior é $\frac{π}{6}$ . Traça-se uma seção plana na pirâmide de modo que essa seção passa pela diagonal maior da base e é paralela a uma das faces laterais. Calcule a área dessa seção.

Resolução:

A secção pedida é um trapézio. É necessário determinar as bases do trapézio e sua altura.

No hexágono de lado $L = 4$ da base, a diagonal maior mede $AD = 2 L = 8$ .

Nas faces VBC e VEF tem-se $VM = VN = BM \cdot tg (75 °) = 2 tg (75 °)$ .

No triângulo VMN, OT é base média, logo: $OT = \frac{VM}{2} = tg 75 °$ .

No triângulo VEF, PQ é base média, logo: $PQ = \frac{EF}{2} = 2$ .

Finalmente, a área da secção é dada pela área do trapézio ADQP, que é igual a:

$[ADPQ] = \frac{(AD + PQ) OT}{2} = \frac{(8 + 2) \cdot tg 75 °}{2} = 5 (2 + \sqrt{3})$

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