Dissertativa 5 - 2ª Fase - Dia 1 - ITA 2027

Na elipse $\left({\mathrm{\epsilon }}_1\right):2{\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2=6 \iff \frac{{\mathrm{x}}^2}{3}+\frac{{\mathrm{y}}^2}{6}=1$, tem-se $\mathrm{a}=\sqrt{6}$; $\mathrm{b}=\sqrt{3}$ e $\mathrm{c}=\sqrt{6-3}=\sqrt{3}$.

A elipse é centrada na origem.

Como as abscissas de $\mathrm{A}$ e $\mathrm{B}$ são iguais a $1$, para suas ordenadas, tem-se:

${\mathrm{y}}^2=6-2·1^2=4 \iff \mathrm{y}=\pm 2$

Tem-se, então, $\mathrm{A}=\left(1, 2\right)$ e $\mathrm{B}=(1, -2)$ com $\mathrm{AB}=4$.

O perímetro do triângulo $\mathrm{ABC}$ é $10$. Logo $\mathrm{CA}+\mathrm{CB}=6$ e $\mathrm{C}$ pertence a uma elipse ${\mathrm{\epsilon }}_2$ com focos em $\mathrm{A}$ e $\mathrm{B}$, centro em $\frac{\mathrm{A}+\mathrm{B}}{2}=\left(1,0\right)$, $2\mathrm{a}\text{'}=6, 2\mathrm{c}\text{'}$ $=4 \mathrm{e} \mathrm{b}\text{'}=\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt{5}$. A equação de ${\mathrm{\epsilon }}_2$ é dada por:

$\frac{{\left(\mathrm{x}-1\right)}^2}{5}+\frac{{\mathrm{y}}^2}{9}=1 \iff 9{\mathrm{x}}^2-18\mathrm{x}+5{\mathrm{y}}^2=36$

O ponto $\mathrm{C}$ é a intersecção dessas duas elipses, sendo a solução do sistema:

$\left\{\begin{array}{l} 2{\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2=6 \left({\mathrm{E}}_1\right)\\ 9{\mathrm{x}}^2-18\mathrm{x}+5{\mathrm{y}}^2=36 \left({\mathrm{E}}_2\right)\end{array}\right.$

Tem-se:

$5{\mathrm{E}}_1-{\mathrm{E}}_2: {\mathrm{x}}^2+18\mathrm{x}+6=0$

Como $-\sqrt{3}\le \mathrm{x}\le \sqrt{3}$, tem-se $\boxed{\mathrm{x}=5\sqrt{3}-9}$.