Dissertativa 8 - 2ª Fase - Dia 1 - ITA 2027

a) Seja $\mathrm{BF}=\mathrm{y}$. Como $\mathrm{AE}=\mathrm{x}$, tem-se $\mathrm{EB}=10-\mathrm{x}$   e    $\mathrm{FC}=6-\mathrm{y}$.

Como EFGH é retângulo, os triângulos EBF e GDH são congruentes. Analogamente, HAE e FCG são congruentes.

Logo, $\mathrm{CG}=\mathrm{x}$ e $\mathrm{DH}=\mathrm{y}$.

Da semelhança entre os triângulos EBF e HAE:

$\frac{\mathrm{y}}{10-\mathrm{x}}=\frac{\mathrm{x}}{6-\mathrm{y}} \Rightarrow {\mathrm{y}}^2-6\mathrm{y}+(10\mathrm{x}-{\mathrm{x}}^2)=0$

Tratando como uma equação do 2º grau em y, para que haja solução:

$\mathrm{\Delta }=(-6{)}^2-4·1·(10\mathrm{x}-{\mathrm{x}}^2)\ge 0 \Rightarrow {\mathrm{x}}^2-10\mathrm{x}+9\ge 0 \Rightarrow \mathrm{x}\le 1 \mathrm{ou} \mathrm{x}\ge 9$

Como $0<\mathrm{x}<10$: $\boxed{0<\mathrm{x}\le 1 \mathrm{ou} 9\le \mathrm{x}<10}$

b) Se a área de EFGH é 30 e a área de ABCD vale 60, os quatro triângulos das pontas têm área total igual a 30:

$2·\frac{\mathrm{x}(6-\mathrm{y})}{2}+2·\frac{(10-\mathrm{x})\mathrm{y}}{2}=30 \Rightarrow \mathrm{xy}-3\mathrm{x}-5\mathrm{y}+15=0 \Rightarrow \left(\mathrm{x}-5\right)\left(\mathrm{y}-3\right)=0$

Do item (a), $\mathrm{x}=5$ é impossível. Logo, $\mathrm{y}=3$.

Com $\mathrm{y}=3$, tem-se:

$\frac{3}{10-\mathrm{x}}=\frac{\mathrm{x}}{6-3} \Rightarrow \mathrm{x}=1 \mathrm{ou} \mathrm{x}=9$

Para $\mathrm{x}=1$ e $\mathrm{y}=3$:

$\mathrm{EF}=\sqrt{(10-\mathrm{x}{)}^2+{\mathrm{y}}^2}=3\sqrt{10}$

$\mathrm{EH}=\sqrt{{\mathrm{x}}^2+(6-\mathrm{y}{)}^2}=\sqrt{10}$

Para $\mathrm{x}=9$ e $\mathrm{y}=3$, o par se inverte: $\mathrm{EF}=\sqrt{10}$ e $\mathrm{EH}=3\sqrt{10}$.

Portanto, os lados valem $\boxed{3\sqrt{10}}$ e $\boxed{\sqrt{10}}$.