Dissertativa 2 - 2ª Fase - Dia 1 - ITA 2027

Considerando que a função $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right) = {\log }_2 \mathrm{x}$ é estritamente crescente e que $2^{\mathrm{x}} > 0$ para todo x real, nota-se que:

${\log }_2\left(2^{\mathrm{x}} + 2\right)> {\log }_{2}2 = 1$

Portanto, para todo x real, ${\log }_2\left(2^{\mathrm{x}} + 2\right) >0$.

A equação original pode então ser reescrita como: 

$\log { }_2\left(2^{\mathrm{x}} + 2\right) > \left|2\mathrm{x}\right|$

Caso 1: $\mathrm{x} \ge 0$

$\log { }_2\left(2^{\mathrm{x}} + 2\right) > 2\mathrm{x}\Rightarrow 2^{\mathrm{x}} + 2 > 2^{2\mathrm{x}}\Rightarrow 2^{2\mathrm{x}}- 2^{\mathrm{x}} - 2 < 0$

Fazendo $\mathrm{y} = 2^{\mathrm{x}}$:

${\mathrm{y}}^2 - \mathrm{y} - 2<0\Rightarrow - 1 < \mathrm{y}<2$

Assim: 

$- 1 < 2^{\mathrm{x}}<2\Rightarrow \mathrm{x}<1$

Portanto, $0 \le \mathrm{x} < 1$.

Caso 2: $\mathrm{x}<0$

$\log { }_2\left(2^{\mathrm{x}} + 2\right) < -2\mathrm{x}\Rightarrow 2^{\mathrm{x}} + 2 > 2^{-2\mathrm{x}}\Rightarrow 2^{3x} + 2 · 2^{{}^{2x}}-1 > 0$

Fazendo $\mathrm{y} = 2^{\mathrm{x}}:$

${\mathrm{y}}^3 + 2{\mathrm{y}}^2 - 1 > 0\Rightarrow \left(\mathrm{y} + 1\right) \left({\mathrm{y}}^2 + \mathrm{y} - 1\right)>0\Rightarrow \left(\mathrm{y}+1\right)\left(\mathrm{y}-\left(\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\right)\right)\left(\mathrm{y}-\left(\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\right)\right)> 0$

De modo que:

$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}<\mathrm{y}<-1 \left(\mathrm{absurdo}, \mathrm{pois} \mathrm{y}>0\right) \mathrm{ou} \mathrm{y}>\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

Assim: 

$2^{\mathrm{x}}>\frac{\sqrt{5}-1}{2}\Rightarrow \mathrm{x}> {\log }_2 \left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)$

Levando em conta a condição de existência do caso 2, tem-se: 

${\log }_2 \left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right) < \mathrm{x} <0$

Por fim, o conjunto-solução é dado pela união das soluções dos casos 1 e 2: 

$\boxed{\mathrm{S}=\left\{\mathrm{x}\in \mathrm{ℝ}| {\log }_2 \left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)< \mathrm{x} < 1\right\}}$