Dissertativa 6 - 2ª Fase - Dia 1 - ITA 2027

Escalonando o sistema, tem-se:

$\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{x}}_1+{\mathrm{x}}_2+{\mathrm{x}}_3+{\mathrm{x}}_4+{\mathrm{x}}_5+3{\mathrm{x}}_6=30\\ {\mathrm{x}}_2+{\mathrm{x}}_3+{\mathrm{x}}_4+{\mathrm{x}}_5+{\mathrm{x}}_6=22\\ {\mathrm{x}}_3+{\mathrm{x}}_4+{\mathrm{x}}_5+{\mathrm{x}}_6=16\end{array}\right.$

Isso implica que ${\mathrm{x}}_2=6$ e:

$\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{x}}_1+{\mathrm{x}}_3+{\mathrm{x}}_4+{\mathrm{x}}_5+3{\mathrm{x}}_6=24\\ {\mathrm{x}}_3+{\mathrm{x}}_4+{\mathrm{x}}_5+{\mathrm{x}}_6=16\end{array}\right.$

Subtraindo as equações, obtém-se:

${\mathrm{x}}_1+2{\mathrm{x}}_6=8$

Agora, deve-se notar que $1\le {\mathrm{x}}_6\le 3$.

${\mathrm{x}}_6=1\Rightarrow {\mathrm{x}}_1=6$ e ${\mathrm{x}}_3+{\mathrm{x}}_4+{\mathrm{x}}_5=15$

${\mathrm{x}}_6=2\Rightarrow {\mathrm{x}}_1=4$ e ${\mathrm{x}}_3+{\mathrm{x}}_4+{\mathrm{x}}_5=14$

${\mathrm{x}}_6=3\Rightarrow {\mathrm{x}}_1=2$ e ${\mathrm{x}}_3+{\mathrm{x}}_4+{\mathrm{x}}_5=13$

Para excluir as soluções com zeros, faz-se uma mudança de variável de ${\mathrm{x}}_{\mathrm{k}}={\mathrm{\alpha }}_{\mathrm{k}}+1$ e tem-se:

${\mathrm{x}}_3+{\mathrm{x}}_4+{\mathrm{x}}_5=15\Rightarrow {\mathrm{\alpha }}_3+{\mathrm{\alpha }}_4+{\mathrm{\alpha }}_5=12$, que tem ${\mathrm{P}}_{14}^{12,2}=91$ soluções.

${\mathrm{x}}_3+{\mathrm{x}}_4+{\mathrm{x}}_5=14\Rightarrow {\mathrm{\alpha }}_3+{\mathrm{\alpha }}_4+{\mathrm{\alpha }}_5=11$, que tem ${\mathrm{P}}_{13}^{11,2}=78$ soluções.

${\mathrm{x}}_3+{\mathrm{x}}_4+{\mathrm{x}}_5=13\Rightarrow {\mathrm{\alpha }}_3+{\mathrm{\alpha }}_4+{\mathrm{\alpha }}_5=10$, que tem ${\mathrm{P}}_{12}^{10,2}=66$ soluções.

Como ${\mathrm{x}}_2$ é fixo (igual a $6$), tem-se $91+78+66=235$ soluções.