Dissertativas 3 - 2ª Fase Dia 3 - ITA 2025

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Gabarito

Física
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7. 7DIS
8. 8DIS
9. 9DIS
10. 10DIS
11. TXTTXT

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Questão 3

Dissertativa

Considere um objeto de massa $m$ que se movimenta sobre uma cunha de massa $M$ , inclinação $α$ e coeficiente de atrito $μ$ . A cunha se move horizontalmente para a direita, sob a ação de uma força $\vec{F}$ em uma superfície lisa. Considere que, inicialmente, o sistema se encontra em repouso, com esse objeto no topo da cunha. Sabe-se que o intervalo de tempo que ele leva para chegar ao solo com a cunha em movimento é o triplo do que levaria se a cunha estivesse fixa. Com base nessas informações, calcule, em função de $m, M, α, μ e g$ , a magnitude

a) da aceleração da cunha;

b) da força normal que o plano inclinado faz no objeto;

c) da força $\vec{F}$ .

Resolução:

a) No caso da cunha fixa, tem-se:

eixo normal:

$N = P \cdot \cos α = mg \cdot \cos α$

eixo do plano:

$F_{R} = P \cdot sen α - F_{at} F_{R} = mg \cdot sen α - μ \cdot mg \cdot \cos α m \cdot a_{1} = mg \cdot (sen α - μ \cdot \cos α) a_{1} = g \cdot (sen α - μ \cdot \cos α)$

Utilizando a equação horária do MUV, tem-se:

$∆ S = \frac{a_{1} \cdot t_{1} ²}{2} \to t_{1} = \sqrt{\frac{2 ∆ S}{a_{1}}} \to t_{1} = \sqrt{\frac{2 ∆ S}{g . (sen α - \cos α)}}$

No caso da cunha em movimento, considerando o referencial acelerado da cunha, tem-se:

eixo normal:

$N' = mg \cdot \cos α + m \cdot a' \cdot sen α$

eixo do plano:

$F'_{R} = mg \cdot sen α - m \cdot a' \cdot \cos α - F'_{at} m \cdot a_{2} = mg \cdot sen α - m \cdot a' \cdot \cos α - mg \cdot μ \cdot \cos α - m \cdot a' \cdot μ \cdot sen α a_{2} = g (sen α - μ \cdot \cos α) - a' (\cos α + μ \cdot sen α)$

Analogamente:

$t_{2} = \sqrt{\frac{2 ∆ S}{g (sen α - μ \cdot \cos α) - a' (\cos α + μ \cdot sen α)}}$

Mas, $t_{2} = 3 \cdot t_{1}$ , assim:

$\sqrt{\frac{2 ∆ S}{g (sen α - μ \cdot \cos α) - a' (\cos α + μ \cdot sen α)}} = 3 \cdot \sqrt{\frac{2 ∆ S}{g . (sen α - \cos α)}} 9 g (sen α - μ \cdot \cos α) - 9 a' (\cos α + μ \cdot sen α) = g (sen α - \cos α) a' = \frac{8 g (sen α - μ \cdot \cos α)}{9 (\cos α + μ \cdot sen α)}$

b) Da equação do eixo normal no caso da cunha em movimento, tem-se:

$N' = mg \cdot \cos α + m \cdot a' \cdot sen α N' = mg \cdot \cos α + \frac{8 mg \cdot sen α (sen α - μ \cdot \cos α)}{9 (\cos α + μ \cdot sen α)} N' = \frac{mg (9 \cos ² α + 9 \cdot μ \cdot sen α \cdot \cos α + 8 sen ² α - 8 \cdot μ \cdot sen α \cdot \cos α)}{9 (\cos α + μ \cdot sen α)} N' = \frac{mg (8 + \cos ² α + μ \cdot sen α \cdot \cos α)}{9 (\cos α + μ \cdot sen α)}$

c) Do equilíbrio de forças na horizontal da cunha, tem-se:

$F_{R} = F - N' \cdot sen α M \cdot a' = F - \frac{mg (8 + \cos ² α + μ \cdot sen α \cdot \cos α)}{9 (\cos α + μ \cdot sen α)} \cdot sen α F = M \cdot \frac{8 g (sen α - μ \cdot \cos α)}{9 (\cos α + μ \cdot sen α)} + \frac{mg (8 + \cos ² α + μ \cdot sen α \cdot \cos α)}{9 (\cos α + μ \cdot sen α)} \cdot sen α F = \frac{8 Mg (sen α - μ \cdot \cos α) + mg \cdot sen α \cdot (8 + \cos ² α + μ \cdot sen α \cdot \cos α)}{9 (\cos α + μ \cdot sen α)}$

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