Dissertativas 2 - 2ª Fase Dia 3 - ITA 2025

Da relação de recorrência ${\overrightarrow{\mathrm{F}}}_{\mathrm{n}}=\frac{{\overrightarrow{\mathrm{F}}}_{\mathrm{n}-1}}{2}$, tem-se que todas as forças são paralelas. Portanto, para que o equilíbrio de forças seja possível, as forças devem ter a mesma direção da tração T e dos pesos Mg e mg.

Primeiramente, deve-se calcular o valor de uma força ${\mathrm{F}}_{\mathrm{k}}$ em função de ${\mathrm{F}}_0$.

Aplicando-se sucessivamente a relação de recorrência:

$$\begin{gathered} {\mathrm{F}}_0=2{\mathrm{F}}_1 \\ {\mathrm{F}}_1=2{\mathrm{F}}_2 \\ {\mathrm{F}}_2=2{\mathrm{F}}_3 \\ \cdots \\ {\mathrm{F}}_{\mathrm{k}-1}=2{\mathrm{F}}_{\mathrm{k}} \end{gathered}$$

Multiplicando-se as equações:

${\mathrm{F}}_0·\prod _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{k}-1}{\mathrm{F}}_{\mathrm{i}}=2^{\mathrm{k}} \left(\prod _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{k}-1}{\mathrm{F}}_{\mathrm{i}}\right){\mathrm{F}}_{\mathrm{k}}\Rightarrow {\mathrm{F}}_{\mathrm{k}}=\frac{{\mathrm{F}}_0}{2^{\mathrm{k}}}$

a) ${\overrightarrow{\mathrm{F}}}_{\mathrm{k}}$ possui braço de alavanca ${\mathrm{b}}_{\mathrm{k}} = 2^{-\mathrm{k}}\mathrm{L}$. Equilíbrio de torques em relação à origem:

 $\sum _{\mathrm{k}=0}^{\mathrm{N}-1}{\mathrm{F}}_{\mathrm{k}}{\mathrm{b}}_{\mathrm{k}}=\mathrm{mg}·\mathrm{L}+\mathrm{Mg}·\frac{\mathrm{L}}{2}\Rightarrow \sum _{\mathrm{k}=0}^{\mathrm{N}-1}\frac{{\mathrm{F}}_0}{2^{\mathrm{k}}}{2}^{-\mathrm{k}} \mathrm{L}=\left(2\mathrm{m}+\mathrm{M}\right)\frac{\mathrm{gL}}{2}\Rightarrow {\mathrm{F}}_0\mathrm{L}\sum _{\mathrm{k}=0}^{\mathrm{N}-1}{4}^{-\mathrm{k}}=\left(2\mathrm{m} + \mathrm{M}\right)\frac{\mathrm{gL}}{2}$

Como o somatório representa a soma de uma PG finita:

${\mathrm{F}}_0\mathrm{L}\frac{4^{\mathrm{N}} - 1}{3·4^{\mathrm{N}-1}}=\left(2\mathrm{m}+\mathrm{M}\right)·\frac{\mathrm{gL}}{2}\Rightarrow {\mathrm{F}}_0=\frac{3\mathrm{g}\left(2\mathrm{m} + \mathrm{M}\right)4^{\mathrm{N}-1}}{2\left(4^{\mathrm{N}}- 1\right)}\Rightarrow \boxed{{\mathrm{F}}_0=\frac{3\mathrm{g}\left(2\mathrm{m}+\mathrm{M}\right)2^{2\mathrm{N}-3}}{\left(2^{2\mathrm{N}}-1\right)}}$

b) Equilíbrio de forças na direção vertical:

$\mathrm{T}+\sum _{\mathrm{k}=0}^{\mathrm{N}-1}{\mathrm{F}}_{\mathrm{k}}=\left(\mathrm{M}+\mathrm{m}\right)\mathrm{g}\Rightarrow \mathrm{T}+{\mathrm{F}}_0\sum _{\mathrm{k}=0}^{\mathrm{N}-1}\frac{1}{2^{\mathrm{k}}}=\left(\mathrm{M}+\mathrm{m}\right)\mathrm{g}$

Como o somatório representa a soma de uma PG finita:

$$\begin{gathered} \mathrm{T}+{\mathrm{F}}_0\frac{2^{\mathrm{N}}-1}{2^{\mathrm{N}-1}}=\left(\mathrm{M}+\mathrm{m}\right)\mathrm{g} \Rightarrow \\ \mathrm{T}+\frac{3\mathrm{g}\left(2\mathrm{m}+\mathrm{M}\right)2^{2\mathrm{N}-3}}{\left(2^{2\mathrm{N}}-1\right)}\frac{2^{\mathrm{N}}-1}{2^{\mathrm{N}-1}}=\left(\mathrm{M}+\mathrm{m}\right)\mathrm{g} \Rightarrow \\ \boxed{\mathrm{T}=\left(\mathrm{M}+\mathrm{m}\right)\mathrm{g}-3\left(2\mathrm{m}+\mathrm{M}\right)\mathrm{g}\frac{2^{\mathrm{N}-2}}{2^{\mathrm{N}} + 1}} \end{gathered}$$