Dissertativa 4 - 2ª Fase - Física - IME 2020

Um tubo rígido aberto nas extremidades, com seção reta de área constante, é preenchido com um fluido de massa específica ${\mu }_1$ até alcançar a altura $h_1$. O tubo é lacrado em uma das extremidades, conforme ilustra a Figura 1, imediatamente acima de uma válvula, que se encontra fechada, de modo que a coluna de ar também tenha altura $h_1$ e esteja com a mesma pressão atmosférica externa. A haste da válvula mantém presa uma esfera que se ajusta bem ao duto de saída, com seção reta $S_d$ circular. Um segundo fluido, de massa específica ${\mu }_2<{\mu }_1$, é lentamente colocado na extremidade aberta até formar uma coluna de altura $h_2$, conforme mostra a Figura 2. Em determinado instante, a válvula é subitamente aberta, liberando a esfera, que é impulsionada pelo ar comprimido por um breve intervalo de tempo $∆$t, até atingir o ponto P. A esfera percorre o trajeto dentro do duto até alcançar uma mola, de constante elástica k, que se deforma $∆$x. Com relação à situação apresentada, determine:

a) a pressão da coluna confinada de ar, em $\mathrm{N}/{\mathrm{m}}^2$, supondo a temperatura constante, após a inserção do segundo fluido e antes da abertura da válvula.

b) a força de atrito média a partir do ponto P, em N, que age na esfera em sua trajetória até alcançar a mola.

Observações:
• considere constante a pressão que impulsiona a esfera durante seu movimento até o ponto P;
• após o ponto P, o interior do duto encontra-se à pressão atmosférica;
• não há força de atrito durante a compressão da mola;
• não há atrito no movimento da esfera entre a válvula e o ponto P.

Dados:
• aceleração da gravidade: g = 10 $\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2$;
• alturas: ${\mathrm{h}}_1 = 1 \mathrm{m}; {\mathrm{h}}_2 = 1,75 \mathrm{m}; \mathrm{e} {\mathrm{h}}_3 = 4 \mathrm{m}$;
• ângulo $\alpha$ = 30°;
• área da seção reta do duto: $S_d$ = 1 ${\mathrm{cm}}^2$;
• constante elástica da mola: k = 2.000 N/m;
• deformação máxima da mola: = 2,5 cm;
• distância $d_1$ = 1 m;
• intervalo de tempo que a esfera é impulsionada: $∆$t = 0,1 s;
• massa da esfera: m = 50 g;
• massas específicas: ${\mu }_1$ = 2.500 kg/${\mathrm{m}}^3$; e ${\mu }_2$ = 2.000 kg/${\mathrm{m}}^3$;
• pressão atmosférica local: ${\mathrm{P}}_{\mathrm{a}} = {10}^5 \mathrm{N}/{\mathrm{m}}^2$.